Page 72 - 4754

70

2 y 2
x
3x 2  5y 2  15 ; *  *  1;
* *
5 3
Отже, маємо еліпс із півосями a 5 і b 3 . ■

Приклад 2. Загальне рівняння гіперболи в старій системі координат має

вигляд x 2  3y 2  2 x 12 y 20  0 . Звести рівняння гіперболи до

канонічного вигляду за допомогою переходу до нової системи координат,


одержаної зі старої паралельним перенесенням на вектор r  ( ) 2 ; 1 .
0

(Розв’язати самостійно).

5.4. Власні вектори та власні числа квадратної матриці

Нехай A – квадратна матриця n -го порядку. Розглянемо відповідне лінійне

 
n
відображення простору R самого в себе: y  A x . Якщо існують ненульовий

  
вектор x і число λ такі, що виконується рівність A x   x , то говорять, що λ


– власне число матриці A, а x – її власний вектор, який відповідає власному

числу λ .

Отже, множення матриці на власний вектор рівносильне множенню

власного числа на цей вектор.

Вказане матричне рівняння можна подати у вигляді

   
A x  E x ;(A  E ) x  0 ;

Ця однорідна квадратна система лінійних рівнянь має ненульовий


розв’язок x тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю

det( A  E )  0.

Одержане рівняння називається характеристичним рінянням матриці A.

Відповідний многочлен

( f )   det( A  E ) .