Page 73 - 4754

71

називається характеристичним многочленом матриці A.

Характеристичне рівняння можна подати в розгорнутій формі

a 11   a 12 ... a n 1

a 21 a 22   ... a 2 n

... ... ... ...
a n1 a n2 ... a nn

Власні числа λ j (j = n,1 ) є коренями характеристичного рівняння.

Власні числа можуть бути дійсними чи комплексними, простими чи

кратними. Множину всіх власних чисел λ j (j = ,1 n ) даної матриці називають

її спектром.

Якщо відоме деяке власне числоλ, то з однорідної системи

 
(A  E ) x  0 ;

можна знайти відповідні власні вектори.

Найбільший модуль власного числа матриці називають її спектральним

радіусом і позначають ρ(A):

( A)  max  .
j
j

Властивості власних векторів і власних чисел:

1) Кожному власному вектору відповідає одне власне число.


2) Якщо x – власний вектор з власним числом λ , то довільний вектор

 
 x  (  ) 0 , колінеарний вектору x , також є власним вектором з тим же

власним числом λ . Тобто, власний вектор визначається з точністю до

довільного ненульового множника. Звичайно виділяють одиничні власні

вектори.