Page 70 - 4754

68

Рис. 93

Положення довільної точки M в обох системах визначається одним і тим

 
же радіус-вектором, тобто r  r . Позначимо через r довжину радіус-вектора,
*

а через α і α * – кути які утворює радіус-вектор з віссю Ox старої і віссю Ox *
нової систем координат.

Із прямокутних трикутників ONM і OPM маємо

x = r cosα ; y = r sinα .

Аналогічно, з прямокутних трикутників ON *M і OP *M отримаємо

x * = r cosα * ; y * = r sinα * .

Тоді, враховуючи співвідношення α = α * + φ , одержимо

x = r cosα = r cos(α * + φ) = r cosα * cosφ- r sinα * sinφ =

= x * cosφ - y * sinφ ; y = r sina = r sin(α * + φ) =

= r sina * cosφ+ r cosα * sinφ = y * cosφ+ x * sinφ .

Таким чином, маємо формули

  xx * cos   y * sin 
 ,
 y  x * sin   y * cos 

які виражають старі координати через нові.

Оскільки стара система координат повернута відносно нової на кут - φ , то

аналогічно можна отримати формули

x *  cosx   siny 
 ,
y
 *   sinx   cosy 

якими нові координати подаються через старі.

Зауваження 1. Одержані перетворення повороту є взаємно оберненими

лінійними відображеннями.

Паралельне перенесення і поворот системи координат. Нехай

положення початку координат нової системи O * у старій системі задається


радіус-вектором r  (x 0 ; y 0 ), а осі нової системи O *x * y *z * повернуті на кут φ
0

відносно осей старої системи Oxyz (рис. 94).