Page 63 - 4754

61

  
Упорядкована множина n векторів е 1 е , 2 ,..., е є лінійно незалежною
n
n
(утворює базис) n -вимірного простору R тоді і тільки тоді, коли визначник, у
якому стовпцями служать координати відповідних векторів, відмінний від нуля

е 11 е 12 ... е 1 n

e 21 e 22 ... e 2 n
 0 .
... ... ... ...

e n 1 e n 2 ... e nn

Наприклад, лінійно незалежні одиничні вектори

  
е  ( 0 ; 1 ;...; 0 ), е 2  1 ; 0 ( ;...; 0 ), …, е n  ( 0 ; 0 ;...; 1 ),
1

n
утворюють канонічний координатний базис простору R . При цьому для

вектора a  ( а 1 ; а 2 ; ... а n )маємо

   
а  a 1 е 1  a 2 е 2  ...  a n е .
n
2
Будь-які два неколінеарні вектори на площині R є лінійно незалежними і
утворюють базис.

3
Будь-які три некомпланарні вектори тривимірного простору R є лінійно
незалежними і утворюють базис.

Приклад. Задано три вектори

  
a  ( ; 2  ; 1  3 ), b  (  0 ; 3 ; 1 ), c  ( ; 2 ; 1  2 ).

3
у деякому базисі простору R . Переконатися, що ці вектори утворюють
новий базис і знайти координати вектора


d  (  3 ; 7 ; 4 )

у цьому базисі.

2  1 1

   1 3 2  5  0 ;

 3 0  2