Page 57 - 4754

55

a x a y a z
  
( a b ) c  b x b y b z .

c x c y c z

  
i j k
     
( a  b ) c  a x a y a z  (c x i  c y j  c z ) k 

b x b y b z

     
  a( y b z  a z b y i )  a( x b z  a z b ) j  a( x b y  a y b ) k    c( x i 

x
x
 
 
 c y j  c z k )  a( y b z  a z b y c ) x  a( x b z  a z b x c ) y  a( x b y  a y b x c ) z 

a x a y a z

 b x b y b .
z
c x c y c z

Приклад 1. Задані координати вершин трикутної піраміди S(4 ;-1;2),

A(5;1;4), B(3;2;-1), C(0;0;3). Знайти її об’єм.


SA  5 (  1 ; 4  ( 1 ); 4  ) 2  2 ; 2 ; 1 ( );


SB  0 (  0 ; 4  ( 1 ); 3  ) 2  ( ) 1 ; 1 ; 4 ;

1 2 2
  
(SA  SB )  SC  1 3 - 2  54 ;

- 4 1 1

1   
V SABC  | SA(  SB )  SC | (1/6)  54  9 .
6

  
Зауваження 2. Якщо три вектори a , b i c компланарні, то відповідний

паралелепіпед вироджується і його об’єм дорівнює нулю. Звідси маємо умову

компланарності трьох векторів: три вектора компланарні тоді і тільки

тоді, коли їх мішаний добуток дорівнює нулю: