Page 28 - 4754

26

Зауваження 2. Загальний розв’язок X сумісної неоднорідної СЛАР AX

= B можна подати у вигляді суми загального розв’язку X 0 відповідної

однорідної СЛАР AX = 0 і будь-якого частинного розв’язку X * вихідної

неоднорідної СЛАР

X = X 0 + X * .

В свою чергу, загальний розв’язок X 0 відповідної однорідної СЛАР

можна подати у вигляді лінійної комбінації

X 0 = C 1X 1 + C 2X 2 +…+ C n-rX n-r

n − r лінійно незалежних частинних розв’язків X j (j= , 1 n r ) цієї

однорідної СЛАР, що утворюють так звану фундаментальну систему

розв’язків. Тут C j (j= n, 1 r ) - довільні сталі (параметри).

3.2. Розв’язування квадратної системи лінійних алгебраїчних рівнянь

за допомогою оберненої матриці

Теорема. Якщо основна матриця A квадратної системи AX = B

невироджена (тобто, det A ≠ 0), то система має єдиний розв’язок, який

обчислюється за формулою

−1
X = A B.
□ Оскільки матриця A – невироджена, то існує обернена матриця

−1
A . Тоді
-1
-1
-1
-1
A (АХ) = A В; (A А)Х = A В;
-1
-1
ЕХ = A В; Х = A В. ■
Приклад. Розв’язати квадратну систему
3x  2 y  5z  7

 2x  y  2z  0

 2x  y  3z  4

за допомогою оберненої матриці (матричним методом).