Page 32 - 4754

30

a 11 x 1  a 12 x 2  ...  a 1 n x n  b 1

 a 21 x 1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n  b 2

 .......... .......... .......... .......... .......
 a x  a x  ...  a x  b
 m1 1 m 2 2 mn n m

Нехай A – основна матриця, а C – розширена матриця цієї системи.

Елементарним перетворенням рядків розширеної матриці C і переставленню

стовпців тільки основної матриці A відповідають наступні рівносильні

перетворення лінійної системи:

1) переставлення місцями будь-яких двох рівнянь (перенумеровування

рівнянь);

2) множення обох частин будь-якого рівняння на довільне ненульове

число;

3) додавання до обох частин будь-якого рівняння відповідних частин

іншого рівняння, помножених на довільне число;

4) перенумеровування невідомих.

Метод Гаусса дослідження і розв’язування СЛАР складається з двох

основних етапів.

На першому етапі (прямий хід методу Гаусса – зверху вниз) здійснюють

послідовне виключення невідомих за допомогою вказаних рівносильних

перетворень системи. Спочатку виділяють перше рівняння і відповідно перше

невідоме. Припустимо, що a 11 ≠ 0. Якщо ця умова не виконується, то

переставляють рівняння і/або перенумеровують невідомі так, щоб цей

коефіцієнт був відмінний від нуля. Ділять перше рівняння на a 11 ≠ 0 і за

допомогою одержаного рівняння виключають послідовно перше невідоме з

другого рівняння, потім з третього рівняння і т.д. до останнього найнижчого.

Виділяють друге рівняння і відповідно друге невідоме. Припустимо, що a 22 ≠ 0.

Якщо ця умова не виконується, то переставляють рівняння і/або

перенумеровують невідомі так, щоб цей коефіцієнт був відмінний від нуля.

Ділять друге рівняння на a 22 ≠ 0 і за допомогою одержаного рівняння

виключають послідовно друге невідоме з третього рівняння, потім з четвертого