Page 25 - 4754

23

Система називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і

несумісною (суперечливою), якщо вона не має жодного розв’язку.

Однорідна СЛАР завжди сумісна, бо має тривіальний (нульовий) розв’язок

x j = 0, (j= n,1 )

Сумісна система називається визначеною, якщо її розв’язок єдиний, і

невизначеною – в противному разі.

Введемо матричні позначення

 x   a 11 a 12 ... a 1 n   b 
 1     1 
 x 2   a a ... a   b 2 
X  ; A  21 22 2 n ; B  ;
 ...   ... ... ... ...   ... 
     
     
 x m   a m1 a m2 ... a mn   b m 

 a 11 a 12 ... a 1n b ¦ 1 
 
 a a ... a b ¦ 
C  A( ¦ B)   21 22 2n 2  ,

 ... ... ... ... ¦ ... 
 
a
 m 1 a m 2 ... a mn ¦ b m 
де X – матриця-стовпець невідомих розміру n ×1; A – основна

матриця системи, складена з коефіцієнтів при невідомих розміру m×n; B –

матриця-стовпець вільних членів (правих частин) розміру m×1; C –

розширена матриця системи розміру m×(n+1);

Тоді СЛАР можна подати в матричній формі AX = B.

Для квадратної системи Δ n = det А.

Теорема Кронекера – Капеллі. Система m лінійних алгебраїчних рівнянь з

n невідомими AX = B сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг розширеної матриці
C =(А¦В ) дорівнює рангу основної матриці A : rank C = rank А = r. У випадку

сумісності: 1) якщо ранг цих матриць дорівнює числу невідомих r = n, то
система має єдиний розв’язок (є визначеною); 2) якщо цей спільний ранг менше

числа невідомих r < n, то система є невизначеною і має безліч розв’язків, які
залежать від n − r довільних сталих (параметрів) (рис. 82).

(Без доведення).