Page 26 - 4754

24

Оскільки розширена матриця C включає в себе основну матрицю A,

то rank А≤ rank С. Розширена матриця C одержана з основної матриці A

доданням тільки одного стовпця, тому rank C ≤ rank A + 1.

Нехай система сумісна rank C = rank A = r i M r – деякий (довільно

вибраний) базисний мінор її основної матриці A.

Якщо залишити в системі тільки всі ті рівняння, частина коефіцієнтів

яких входить в базисний мінор, то одержана система буде рівносильна

початковій.

Система лінійних Несумісна (не має розв’зків),

алгебраїчних рівнянь якщо rank C ≠ rank A

лінійних алгебраїчних рівнянь лінійних

Сумісна (має хоча б один

розв’зків), якщо rank C = rank A

алгебраїчних рівнянь лінійних

Визначена (єдиний Невизначена (нескінченна множина

розв’зок), якщо розв’язків), якщо

rank C = rank A = n rank C = rank A < n

Рис. 82

Якщо сумісна система є невизначеною rank C = rank А =r < n, то ті r

невідомі x j, коефіцієнти при яких входять у вибраний базисний мінор M r,

називаються базисними, а решта n - r невідомі x j називаються вільними.

Залишимо в системі тільки всі ті рівняння, частина коефіцієнтів яких

увійшла в базисний мінор, і перенесемо вправо всі члени з вільними

невідомими. Розглядаючи вільні невідомі як довільні сталі (параметри),

одержуємо квадратну систему r -го порядку відносно базисних невідомих,

визначником якої служить базисний мінор M r. Оскільки M r, ≠ 0, то базисні
невідомі знаходяться однозначно. Таким чином, отримуємо загальний

розв’язок початкової системи. При довільно вибраних фіксованих