Page 27 - 4754

25

значеннях вільних невідомих (параметрів) одержуємо частинний

розв’язок. Частинний розв’язок, який відповідає нульовим значенням вільних

невідомих, називається опорним розв’язком.

Приклад. Перевірити дану систему на сумісність

x 1  x 2  x 3  2x 4  1

x  x  2x  x  2
 1 2 3 4

 5x 1  5x 2  8x 3  7x 4  3

□ Для знаходження рангу використовуємо метод елементарних

перетворень. За допомогою елементарних перетворень рядків розширеної

матриці C =(А¦В ) та переставлення стовпців тільки основної матриці A

зводимо розширену матрицю C до східчастої форми з верхнє трапецієвидною

основною матрицею A. Ранг основної матриці A дорівнює числу рядків

трапеції. Якщо в розширеній матриці C нижче рядків трапеції всі

елементи нульові, то її ранг дорівнює рангу основної матриці rank C =

rank A. У противному разі ранг розширеної матриці на одиницю більший

rank C = rank А + 1 .

1 1 1  2  1   1 1  2 1 ¦ 
    R 2 : R  2 R 1
А  1 1 2 1  ; С   1  1 2  2 ¦ 1  ~ ~

    R 3 : R  3 5 R 1
 5  5 8  7   5  5 8  7 ¦ 3 

1   1 1  2 ¦ 1 
 
~ 0 0 1 ¦ 1 1  ~ R 3 : R  3 R 2 ~

3
 
 0 0 3 ¦ 3  2 
1   1 1  2 ¦ 1 
 
~ 0 0 1 ¦ 1 1  ~ R 3 :  R 3 / 5 ~ .

 
 0 0 0 ¦ 0  5 

Звідси rank A = 2; rank C = 3.

Оскільки rank C ≠ rank A, то система несумісна. ■

Зауваження 1. Загальний розв’язок СЛАР може мати різний вигляд,

що, зокрема, залежить від вибору складу базисних і вільних невідомих і від

способу введення довільних сталих.