Page 21 - 4754

19

Ясно, що

0 ≤ rank A ≤ min{m, n} ,

причому ранг дорівнює нулю тільки для нульової матриці.

Якщо rank A = min{m, n}, то матриця A називається матрицею повного

рангу.

Базисним мінором матриці A називається довільний відмінний від нуля

мінор, порядок якого дорівнює рангу матриці.

2.5. Методи обчислення рангу матриці

Мінор M k+1 (k+1) -го порядку, який містить у собі деякий мінор M k k -го

порядку, називається обвідним для цього мінора M k.

Теорема 1. Якщо в матриці A існує відмінний від нуля мінор M r ≠0 r-го

порядку, а всі його обвідні мінори M r+1 (r+1) -го порядку дорівнюють

нулю, то число r є рангом матриці A .

(Без доведення).

Метод обвідних мінорів знаходження рангу матриці A розміру n× m

складається з наступних кроків:

1) Покласти k: = 0.

2) Обчислити почергово обвідні мінори M k+1 (k+1 )-го порядку. Якщо

деякий мінор M k+1 відмінний від нуля, то прийняти його за базисний і перейти

до кроку 3). Якщо всі обвідні мінори (k+1) -го порядку дорівнюють нулю, то

перейти до кроку 4).

3) Покласти k: = k +1 . Якщо k = min{m, n}, то перейти до кроку 4). У

противному разі перейти до кроку 2).

4) Покласти rank A = k і закінчити обчислення.

Приклад 1. Знайти ранг даної матриці A методом обвідних мінорів і

вказати її базисний мінор

 1 3 1 2 
 
А    2  6 5 5  .
 
 2 6  2 4 