Page 115 - 4754

113

З прямокутного ΔOMN маємо формули переходу від полярних до

декартових координат x cos; y sin,

а також обернені формули переходу від декартових до полярних

координат

2 2 2 2 2 2
  x  y ; sin   y / x  y ; cos   x / x  y ;

Приклад 1. Використовуючи формули

переходу, записати рівняння заданих ліній у

полярній системі координат:

а) вертикальна пряма x = a ;

б) горизонтальна пряма y = b ;

2 2 2
в) коло x(  а )  y  а

з центром у точці C(a; 0) на осі Ox , що проходить через початок координат

O;

2 2 2
г) коло x  ( y  b )  b з центром у точці C(0; b) на осі Oy, що

проходить через початок координат O.

□ а) x a ; cosa ; a cos;

2 2 2 2 2 2
в) x(  а )  y  а ; (  cos   а )  (  sin  )  а

2a cos.

(Пункти б) і г) розв’язати самостійно). ■

Зауваження. Деякі лінії, що у декартових координатах за даються

рівняннями у незручній для дослідження неявній фор мі, при переході до

полярних координат набувають досить простого явного вигляду .

Приклад 2. Використовуючи формули переходу, записати рівняння

заданих ліній у полярній системі координат і побудувати їх ескізи. (Розглядати

тільки головні значення полярних координат):

2 2 2 2 2 2
а) лемніската x(  y )  а ( x  y ), а = const > 0 ;

2 2 2 2 2 2 2
б) кардіоїда x(  y  аx )  а ( x  y ), a = const > 0 .