Page 111 - 4754

109

Рис. 17

r = d ,

де r = MF – фокальний радіус точки M(x; y); d – відстань точки M(x; y) до

директриси l d : x =-p/ 2 ; F(p/ 2; 0) – фокус; p – параметр параболи (відстань

від фокуса до директриси), p > 0 . Тоді

2 2
( x  p / 2 )  ( y  0 )  x  (  p / 2 ).

Підносячи до квадрата і спрощуючи (проробіть це самостійно), одержимо

канонічне рівняння параболи
2
y = 2 px

Очевидно, що x ≥0 .

Парабола має форму нескінченної гілки, яка симетрична відносно осі

параболи OF . Точка O(0;0) на осі симетрії (початок координат) називається

вершиною параболи. Асимптот парабола не має.

Зауваження 1. Згідно з означенням параболи і властивостями директрис

еліпса і гіперболи, прийнято, що ексцентриситет параболи дорівнює одиниці

ε=1.

Приклад 1. Визначити координати фокуса F(p /2; 0) і рівняння директриси
2
l d параболи y = 12x . Знайти кінці M 1(p /2; - p) і M 2 (p/ 2; p) хорди M 1M 2 =2 p,

яка проходить через фокус параболи і перпендикулярна до її осі. Зобразити

ескіз параболи, провівши плавну лінію через її вершину O і точки M1(p /2; - p),

M2 (p /2; p).

2
2
□ y = 2 px ; y = 12x ; 2 p =12 ; p = 6 ; F(p 2; 0);
F(3; 0); l d : x=- p/ 2 ; l d : x = -3 ; М 1(3;- 6) ; М 2 (3; 6).

(Ескіз параболи зробити самостійно). ■
2
Приклад 2. Скласти рівняння параболи l p : y = 2px, якщо її фокус

збігається з правою дійсною вершиною гіперболи
2
2
l p : x /4 – y /6=1. Знайти точки перетину цих ліній.