Page 117 - 4754

115

у лівому фокусі еліпса, у правому фокусі гіперболи чи у фокусі параболи, а

за напрям полярної осі вибрати додатний напрям осі Ox (рис. 26).

Нехай M 1M 2 = 2 p - хорда, яка проходить через

вибраний полюс і перпендикулярна до полярної осі. Число p

= M 1O =M 2O називається параметром лінії, p > 0 . Для

параболи параметр p уже визначений раніше як відстань від

фокуса до директриси. Для кола p = r , а для еліпса і

2
гіперболи p = b / a. Тоді рівняння
p 1cos

визначає відповідно а) коло, якщо ε = 0 ; б) еліпс, якщо 0 1; в)
параболу, якщо ε =1; г) праву вітку гіперболи, якщо ε >1.

9.4. Рівняння деяких ліній у параметричній формі

Нехай плоска лінія задана у декартовій прямокутній систе мі координат

параметричними рівняннями

x = x(t ) ; y = y(t ) ,

де t – допоміжна змінна (параметр), x(t) і y(t) – деякі вирази.

Якщо з цих рівнянь удається вилучити параметр t , то одержується

рівняння лінії у неявній F(x, y) = 0 чи навіть у явній y = f (x) формах.

Приклад 1. Показати, що система параметричних рівнянь

x = a cost ; y = b sin t ,

де a, b = const , причому a > 0 ; b > 0 , визначає еліпс з півосями a і b .

□ cost = x/ a ; sint = y /b ,

2 2 2 2 2 2 2 2
cos t  sin t  ( x / a )  ( y / b ) ; x / a  y / b  1; ■

Зауваження 1. Якщо a = b = r , то маємо параметричні рівняння кола x = r

cost ; y = r sint , r > 0 .

Приклад 2. Показати, що система параметричних рівнянь

x = mt + a ; y = nt + b ,
де a, b, m, n = const , визначає пряму. (Розв’язати самостійно).