Page 108 - 4754

106

□ За умовою задачі b  4 3 , а половина між фокусної відстані с = 4.

Тоді

2 2 2 2 2 2
c  a  b ; a  ( 4 3 )  4  64 ;a  8 .

Звідси

2 2
x / 36  y / 20  1;– канонічне рівняння; ε = 4/ 8 = 1/ 2 –

ексцентриситет; х = ± 8 / (1/2); х = ± 16 – директриси. ■

8.4. Гіпербола

Гіперболою називається множина всіх точок площини, для кожної з яких

модуль різниці відстаней до двох заданих точок площини F 1 і F 2 (фокусів

гіперболи) дорівнює заданому сталому числу 2a , меншому за відстань між

фокусами.

Для довільної точки M(x; y) гіперболи (рис. 16)

r  r 2  2 a
1

де r 1 = MF 1 і r 2 = MF 2 – фокальні радіуси точки M(x; y);

F 1(- c;0), F 2 (c;0) – фокуси, F 1F 2 = 2c >2a. Тоді

2 2 2 2
( x  (  c ))  ( y  0 )  ( x  c )  ( y  0 )  2 a .

2 2 2
Підносячи до квадрата і спрощуючи, поклавши c  a  b (проробіть

це самостійно), одержимо канонічне рівняння гіперболи

2 2
x y 2 2 2
  1 , де b  c  a  0 .
2 2
a b