Page 107 - 4754

105

Рис. 15

Еліпс має форму овалу, який симетричний відносно великої осі A 1A 2 = 2a і

малої осі B 1B 2 = 2b, а також центрально симетричний відносно точки O(0;0) –

центра еліпса. Точки перетину з осями координат A 1(- a;0), A 2 (a;0), B 1(0;- b),

B 2 (0; b) називаються вершинами еліпса.

Відношення міжфокусної відстані F 1F 2 =2c до великої осі A 1A 2 = 2a

називається ексцентриситетом еліпса і позначається ε : ε = c/ a.

Зауваження. Ексцентриситет характеризує форму еліпса,

при цьому 0 1. Якщо ε = 0 , то маємо окремий випадок еліпса – коло,

при цьому a b r. Чим більше значення ε, тим сильніше витягнутий еліпс
вздовж великої осі.

Дві прямі, що мають рівняння х = ±а / , називаються директрисами

еліпса. Оскільки для еліпса ε <1, то права директриса розміщена вертикально

правіше від його правої вершини; а ліва директриса – лівіше від його лівої

вершини.

Властивість директрис еліпса: Відношення фокального радіуса r

довільної точки еліпса до відстані d цієї точки до відповідного фокусу є стала

величина, що дорівнює ексцентриситету еліпса r/ d = ε .

Приклад 1. Переконатись, що рівняння

2
2
9x +100y - 900 = 0
є рівнянням еліпса. Зобразити ескіз еліпса, знайшовши точки його

перетину з осями координат (вершини еліпса).

2 y 2 x 2 y 2
x
2
2
□ 9x +100y - 900 = 900;   1 ;   1

100 9 10 2 3 2
– еліпс, що перетинає осі координат у вершинах А 1(-10;0), А 2(10;0), В 1(0;-3),
В 2(0;3),
(Ескіз еліпса зробити самостійно). ■

Приклад 2. Скласти канонічне рівняння еліпса, мала піввісь якого

b  4 3 , а лівий фокус знаходиться у точці F(-4; 0). Знайти його

ексцентриситет і написати рівняння директрис.