Page 109 - 4754

107

Рис. 16

Гіпербола складається з двох нескінченних гілок, які симетричні відносно

дійсної осі A 1A 2= 2a і уявної осі B 1B 2 = 2b, а також центрально симетричні

відносно точки O(0;0) – центра гіперболи. Дійсні вершини A 1(- a;0), A 2 (a;0) є

точками перетину гіперболи з віссю Ox . Через уявні вершини B 1(0;- b), B 2 (0; b)

гіпербола не проходить. Прямі

b b
y  x ; y   x ;
a a

є асимптотами гіперболи.

Асимптотою називається пряма, що необмежено зближається з гілкою

кривої на нескінченності.

Відношення міжфокусної відстані F 1F 2 = 2c до дійсної осі А 1А 2 = 2а

називається ексцентриситетом гіперболи і позначається ε : ε = c /a .

Зауваження. Ексцентриситет характеризує форму гіперболи, при цьому ε

> 1. Чим менше значення ε , тим сильніше витягнута гіпербола вздовж дійсної

осі.

Дві прямі, що мають рівняння х = ± а / ε , називаються директрисами

гіперболи. Оскільки для гіперболи ε >1, то права директриса розмішена

вертикально між центром і правою вершиною, а ліва директриса - між центром

і лівою вершиною.

Властивість директрис гіперболи аналогічна відповідній властивості для

еліпса: r/ d = ε .

Приклад 1. Переконатись, що рівняння

2
2
9x - 25y - 225 = 0
є рівнянням гіперболи. Знайти вершини гіперболи та її асимптоти.
Зобразити ескіз гіперболи. (Розв’язати самостійно).

Приклад 2. Знайти рівняння гіперболи l g , якщо її ексцентриситет ε g = 2, а
фокуси збігаються з фокусами еліпса