Page 44 - 4744

3.2 Проективні методи
3.2.1 Метод колокацій
Одним з найбільш простих методів рішення крайових задач
є метод колокацій. Чисельне рішення при цьому одержують,

вводячи певні допущення на вид функції, якою представляють
результат, та обмежують пошук результату певною, дуже
обмеженою кількістю точок в області визначення.

Розглянем процес поширення тепла в замкнутій плоскій
області S , обмеженій контуром G. Диференційне рівняння
теплопровідності, що виконується на S , буде мати наступний

вигляд:
 T  , yx  q s  0. (3.4)

Тут  – коефіцієнт теплопровідності, q – питома потужність
s
внутрішніх джерел тепла,  – оператор Лапласа.
Представимо, що контур розбитий на три частини

G  G  G  G .
1 2 3
Граничні умови розглянемо 3-х типів (радіаційний

теплообмін у даний курс не входить, його врахування призводить
до нелінійного рівняння):
– на частині контура задана температура:

T  yx,   T ; (3.5)
G 1
– задано тепловий потік:
 T  , yx 
*
   q , (3.6)
n  n
G 2
*
де n – координата по зовнішній нормалі до поверхні, q – густина
n
теплового потоку (вважається додатною, якщо тіло втрачає
тепло);
– задано конвективний теплообмін:
T  yx,  
   Th   x,  y T  , (3.7)
n G 3
G 3
*
де h – коефіцієнт конвекції, T – температура оточуючого

середовища.

Невідома функція відхилень температур представляється у
вигляді кінечного ряду по системі повних ортогональних функцій
  yx,  з невідомими коефіцієнтами a :
i i

44