Page 45 - 4744

I
T  yx,    a  i  yx,  (3.8)
i
 i 1
Вираз (3.8) підставляється у вираз (3.4) та забезпечується у
вибраних точках області S . У результаті одержуються лінійні

рівняння відносно невідомих коефіцієнтів a . Відповідні лінійні
i
рівняння одержуються підставлянням (3.8) в граничні умови (3.5
– 3.7) у відповідних точках. Оскільки в будьякій точці області або

контура виконується лише одно рівняння, то у випадку
співпадіння загального числа невідомих та загального числа
точок одержується замкнута система лінійних рівнянь для

визначення коефіцієнтів.
Розглянем найпростіше розприділення точок колокації –
дев’ять: одна точка в середині області і вісім на границі. Щоб

число рівнянь співпало з числом невідомих, апроксимуюче
рішення приймемо у вигляді:
3 3
T  , yx    a  i    yx  j . (3.9)
ij
i 1 j 1
Як систему функцій    візьмемо поліноми. Тоді шукана

функція прийме вид:
3 3
T  , yx     a ij x i 1 y j 1 . (3.10)
i 1 j 1
Підставимо  yxT ,  в рівняння теплопровідності та в граничні
умови.

 3 3  i 1  j 1 
     a x y   q  0 (3.11)
 ij  s
  i 1 j 1 
Граничні умови на потік тепла набудуть вигляду:
  3 3 
    a x  i 1 y  j 1   q  0 . (3.12)
n   i 1 j 1 ij  n


За аналогією записують умови на задану температуру та
конвективний потік. Підставивши у одержані рівняння
координати відповідних точок, одержуємо систему рівнянь
відносно a , що розв’язується стандартними методами. Варто
ij
підкреслити, що на відміну від розглянутого далі методу

скінченних елементів точними є лише розв’язки у точках
колокацій.

45