Page 40 - 4744

3 МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ РІВНЯНЬ

МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ

3.1 Різницеві методи розв’язання рівнянь математичної

фізики
3.1.1 Апроксимація і збіжність, стійкість різницевих схем
Розглядається задача

 U  U
 a  F  ,,tx
t  x  (3.1)
U  0,x    .x

Вводяться сітка: x  h k  , k ; 0  ; 1  ; 2  та t    n , n ; 0  ; 1  ; 2 , де
k n
 , h – кроки сітки. Вихідне рівняння замінюється різницевим:

u n 1  u n u n  u n
k k  a k  1 k  f n ,
 h k ,
0
u   , k
k
n 0
де f  F x , t n ; u  Ф  x , звідки одержуємо:
k
k
k
k
n1    n  n n
u   1 a  u  a u  f  . (3.2)
k k k 1 k
 n  n
Виникає основне питання: в якій мірі (3.2) еквівалентне
n
n
(3.1)? Якщо u  U x , t n   u , то виникає наступне питання:
k
k
k
– в якій мірі рівняння (3.1) та (3.2) відображають один і той
самий фізичний процес?
– чи є стійким розрахунковий алгоритм (3.2)?
Якщо рівняння (3.1) записати у операторному вигляді
f
LU  F , а для рівняння (3.2) ввести позначення lu  , то можна
ввести три головні характеристики лінійних різницевих схем:

збіжність, апроксимація, та стійкість.
Різницева схема є збіжною, якщо u U  0 при , h 0,

тобто, при вказаних умовах числовий розв’язок збігається до
точного.
Чисельний метод апроксимує розв’язок основної задачі,

якщо lU  f  0 при , h 0. Поняття збіжності та апроксимації
несуть в собі відповідь на перше питання, поставлене вище.

Чисельна схема є стійкою, якщо u  f , тобто, порядок
величини наближеного розв’язку співпадає з порядком величини

40