Page 46 - 4744

3.2.2 Метод скінченних елементів.

Метод скінченних елементів є альтернативою методу
скінченних різниць. Основна ідея методу полягає в тому, що
розв’язок диференціальних рівнянь із частинними похідними
апроксимується дискретною моделлю, які будують на множині

кусково неперервних функцій, визначених на скінченній
кількості підобластей (елементів), на які розбивається область
визначення. Такий підхід зручніший для розв’язання

диференціальних рівнянь із частинними похідними зі складними
граничними умовами, оскільки форму виділених елементів
можна змінювати залежно від типів граничних умов. Крім того,

можна змінювати і розміри елементів.
Дискретизація області визначення полягає в поділі на
скінченну кількість під областей (елементів), що мають певні

розміри та форму. Використовують елементи різних типів.
Найпростішим елементом є одновимірний відрізок, який може
мати поперечний переріз. Такий елемент має два вузли, по
одному на кожному кінці. Для побудови дискретної моделі

двовимірної області використовують два основні типи елементів:
трикутники і прямокутники, що можуть мати і криволінійні
сторони. Для моделювання криволінійних границь у середину

сторін цих елементів включають додаткові вузли. Із тривимірних
елементів найчастіше використовують тетраедри та
паралелепіпеди. Як правило, дискретизація відбувається
нерівномірно, елементи мають різну форму і розміри, які

вибирають залежно від фізичних особливостей задачі.
Можливість варіювати форму і розміри – важлива первага
методу.

Слід зазначити, що під час дискретизації області розв’язку
необхідно не лише виділяти елементи і вузли, але і номерувати
їх. Спосіб нумерування суттєво впливає на продуктивність

(швидкість обчислень).
Метод скінченних елементів також зводить розв’язання
крайових задач до розв’язання систем лінійних рівнянь великої

розмірності з розрідженими стрічковими матрицями. Ширина
смуги матриці визначається співвідношенням B   1 K M , де M –
кількість змінних у кожному вузлі, K – найбільша різниця між
номерами вузлів у окремому напрямку.

46