Page 42 - 4744

3.1.2 Різницева схеми для рівняння теплопровідності.
Розв’язок методом прогонки.

u n 1  u n u n 1  2u n 1  u n 1
Розглянемо неявну схему, k k  a 2 k  1 k k  1 , при
 h 2
0 n  1 n  1 n  1 n  1
чому u  U  x , u  , u   . Опускаючи індекси " n " 1 ,
k 0 k 0 k
одержимо:

u 0   ,
n
 ru    21 r u  ru  u ,
k1 k k 1 k
u k   ;

a  2
де r  .
h 2
Скористаємось методом прогонки. Приймається
u  L u  M . Підставимо у наведений вище вираз; запишеться:
k 1 k k k
n
 rL u  rM    21 r u  ru  u ,
k k k k k 1 k
u   21 r  rL  u  n ru  rM .
k k k k1 k
n
r u  rM
Прямий хід: L  , M  k k ; L  0, M   .
k 1 k 1 1 1
1  2 r  rL 1  2 r  rL
k k
Зворотний хід прогонки: u  L u  M .
k 1 k k k
 U
Якщо граничні умови задано у вигляді  cU  d ,
x 
x a
 U
 fU  g , то для обчислення значення на границі
x 
x b
розпишемо:
u  u
1
0
 cu  d ,
h 0
u  u  cu h  dh,
1 0 0
1 dh
u  u   ;
1
0
1  ch 1  ch
1 dh
звідки, очевидно L  , M   . Знаходять усі прогоночні
1
1
1  ch 1  ch
коефіцієнти.
Прогоночна формула u k 1  L k u  M та одержана за
k
k
аналогією з граничних умов на x  формула u k 1  F k u  G
b
k
k
утворюють систему рівнянь, яка дозволяє визначити u k 1 u , . Далі
k
42