Page 48 - 4744

Найвищий порядок похідної, обумовлений

диференціальним оператором L, не обмежений, але він
перевищує порядок неперервності використовуваних
інтерполяційних поліномів на одиницю. У разі вибору для
скінченних елементів поліномів першого порядку , розглянутих

вище, функція u неперервна, але не її перша похідна, тому в
рівняння (3.17) можуть бути включені лише похідні першого
порядку. Для подолання цього обмеження для обраного кусково-

лінійного опису скінченного елемента слід зменшувати порядок
рівняння шляхом використання процедури інтегрування
частинами.

Приклад. Розглянем одновимірне рівняння Пуассона:
d 2 T
  f  x , (3.18)
dx 2
яке описує розподіл температури в стержні довжиною l з
граничними умовами
T  ,0 t  T , T  ,tl  T . (3.19)
1 2
Нев’язка наближення розв’язку цього рівняння на скінченному
лінійному одновимірному елементі обчислюється за формулою
~
d 2 T
   f  x , а рівняння (3.17) набуває такого вигляду:
dx 2
2 ~
d T 
x 2
  2  f   Nx  i dx  ,0 i  2,1 . (3.20)
x
1
 dx 
Розв’яжемо ці рівняння, застосовуючи метод інтегрування
частинами для першого добутку під інтегралом:
2 ~ ~ 2 x ~
d T  d T 2 x d T dN
2 x i
   f   Nx  i dx  N i   dx , i  2,1 . (3.21)
1 x dx 2 dx dx
  1 x dx
1 x
Обчислимо окремі члени правої частинивиразу (3.21) для i 1:
~ x 2 ~ ~
d T d T  x d T  x
x
N 1  N 1   2  N 1   1 .
x
2
1
dx dx dx
x 1
Оскільки за (3.16) маємо   0xN , N   1x , тому:
1 2 1 1
~ x 2 ~
d T d T  x
N   1 (3.22)
1
dx dx
x 1
Аналогічно для i 2 отримується:

48