Page 41 - 4744

правої частини. Стійкість є одним з основних (але не єдиним!)

параметрів, що визначає практичну успішність методу.
Для лінійних задач справедливою є спектральна ознака
стійкості. При цьому вважається:
n ik n
u  e   . (3.3)
k
Відповідно до цієї ознаки, для стійкості різницевої схеми

необхідно, щоб max   1 при , h 0.

Приклад. Для рівняння теплопровідності

 U  2 U
 a 2 ,
t  x  2

U  x,0  U 0  x ,

   x  ,
0  t  T
n 1 n n n n
u  u u  2u  u
запишемо явну схему: k k  a 2 k  1 k k  1 та
 h 2
використаємо (3.3). Тоді:

e
 n 1 ik   n e ik 2  n e i k  1   2e ik  e i k  1  
 a ;
 h 2
 1 a 2  i  i  a 2 2
 e  2 e  4 sin  ,
 h 2 h 2

4a 2 2 
  1 sin .
h 2 2
 1
Умова   1 виконується, якщо  , тобто явна схема є
h 2 2a 2
умовно стійкою.
n 1 n n 1 n 1 n 1
u  u u  2u  u
Для неявної схеми k k  a 2 k  1 k k  1 можна
 h 2
2
 1 a    1
вивести     sin4 2  , а, отже,    1, тому
 h 2  2  4a 2 2 
1 sin
h 2 2
неявна схема є стійкою для будьяких  , h і ці величини
вибираються для практичного використання лише з умови

точності розв’язку.
Вказані результати можна узагальнити на випадок
нелінійних схем шляхом їх локальної лінеаризації.

41