Page 47 - 4744

Наступний після дискретизації етап полягає у пошуку

наближеного розв’язку для кожного елемента. Для цього
спочатку апроксимується вид апроксимуючої кусково-
неперервної функції з невідомими коефіцієнтами, що
використовується для побудови розв’язку, а потім обчислюється

значення невідомих коефіцієнтів за умови найкращого
наближення цієї функції до розв’язку.
Апрксимуючими функціями найчастіше є поліноми, степінь

яких визначається кількістю вузлів, пов’язаних з елементом. Для
найпростішого одновимірного елемента такою функцією є
u   ax  0  a 1 x, (3.13)

яка повинна задовольняти граничні умови:

u   ux   a  a x ,
1 1 0 1 1
u   ux   a  a x ,
2 2 0 1 2
звідки

u x  u x x  x
a  1 2 2 1 , a  1 . (3.14)
0
1
x  x x  x
2 1 2 1
Після підстановки (3.14) у (3.15) отримуємо
інтерполяційний поліном, що визначає значення функції на
проміжку  , xx :
1 2
u   Nx  u  N u (3.16)
1 1 2 2
x  x x  x
де N  2 , N  1 .
1 2
x  x x  x
2 1 2 1
Наближений розв’язок для кожного елемента можна
обчислити з використанням початкового диференціального
рівняння. Ідея методу базується на так званому методі Гальоркіна
і полягає в тому, що розв’язок будується такм чином, щоб

різниця між наближеним і точним розв’язком (нев’язка) повинна
бути ортогональною до апроксимуючих функцій. Якщо виходити
з диференціального рівняння Lu  f  0, де L – диференціальний
~
оператор, і наближений розв’язок шукати у вигляді u   N i u , то
i
i
~
завдання полягає в мінімізації нев’язки   L u  f , що означає
виконання наступної умови:

 R  N i dR  ,0 i  2,1 , , n, (3.17)
де R – область визначення функції, що задається конфігурацією
скінченного елемента, n – кількість вузлів скінченного елемента.

47