Page 49 - 4744

~ x 2 ~
d T d T  x
N  2 (3.23)
2
dx dx
x 1
Другий член правої частини виразу (3.21) знаходимо

підстановкою (3.21), (3.22) і (3.23) у вираз (3.20). Для i 1:
~
2 x d T dN dT  x 2 x
 1 dx   1   f    dxxNx 1 , (3.24)
x dx dx dx x 1
1
для i 2 маємо:
~
x 2 d T dN dT  x x 2

 2 dx  2  f    dxxNx 2 . (3.25)
x dx dx dx x 1
1
Обчислимо праві частини виразів (3.24) і (3.25),
підставляючи в них відповідні похідні:
dN 1
1   ,
dx x  x
2 1
dN 1
2  ,
dx x  x
2 1
du dN dN 1
 1 u  2 u   u  u .
dx dx 1 dx 2 x  x 1 2
2 1
Одержимо для скінченного елемента, якщо i 1 та i 2такі
рівняння:
2 x T T 1
 1 2 2 dx   TT 1 2 ,
1 x x 2  x 1  x 2  x 1

2 x T T 1
 1 2 2 dx  T 1 T 2 .
1 x x 2  x 1  x 2  x 1
Ці рівняння можна записати в матричній формі як рівняння для
обчислення наближеного розв’язку одновимірного рівняння
Пуассона у вузлах скінченного лінійного елемента:

 2 x 
dT  x  f   dxNx
1  1 1  T 2  1 dx  1 x 1 
          2 x  (3.26)
x  x 1 1 T dT x  
2 1    1  2 f  Nx dx
dx   2 
 1 x 
Якщо позначити матрицю в лівій частині рівняння (3.26)
через k , вектор невідомих температур через u , а вектор, що
враховує зовнішні збурення і граничні умови через F запишем

Tu  F , (3.27)
що є загальним рівнянням для скінченного елемента.

49