Page 38 - 4744

2.2.2 Інтегрування жорстких систем диференціальних
рівнянь.
Жорсткі системи диференціальних рівнянь є математичними
моделями складних об’єктів, великий діапазон зміни часових

характеристик яких зумовлений фізичною природою об’єктів чи
процесів у них. Прикладами моделей таких об’єктів можуть бути
морделі, які створюються формальним об’єднанням систем з

різними сталими часу (наприклад, модель інерційного об’єкта з
контролером). Однак жорсткість може проявлятись у разі
об’єданання і взаємодії нежорстких систем.

Уперше поняття жорсткості системи диференціальних
рівнянь було введено з зв’язку з труднощами, що виникали під
час чисельного інтегрування цих рівнянь явними методами.

Розв’язання системи з малим кроком приводить до того, що після
завершення перехідного процесу, обумовленого “швидкими”
складовими розв’язку, будь-яка спроба збільшення кроку
інтегрування призводить до експотенційного зростання похибки

розв’язку через втрату ним стійкості. Тому були розроблені
спеціальні неявні методи чисельного розв’язання жорстких
рівнянь. Основна мета використання таких методів – забезпечити

можливість зміни кроку обчислень у широких межах і
забезпечити незалежність результатів від вихідних даних на
різних відрізках розв’язку.
Неявні методи – це методи, формули яких містять шукані

значення наближення y n  1 у лівій та правій частинах.
Для неявного методу Ейлера справедлива формула:

y  y  f t , y  , (2.21)
n  1 n n  1 n  1
де f t , y  – значення правої частини розв’язуваного
n  1 n  1
диференціального рівняння у момент часу t , для якого і
n  1
шукається значення величини.
Відомо, що наближення неявним методом Ейлера дає
розв’язок, що є меншим від точних значень, а значення
наближення явним методом перевищує точне значення. Як

усереднення наближення цими методами використовується
метод, що одержав назву формула неявного методу трапецій:

y  y  f   t , y  f t , y . (2.22)
n  1 n n n n  1 n  1
2

38