Page 35 - 4744

2.2 Методи кінечних різниць при розв’язанні
звичайних диференціальних рівнянь

2.2.1 Чисельний розв’язок звичайних диференційних рівнянь

та їх систем. Методи Рунге-Кутта
Розглядається диференційне рівняння першого порядку
виду:

du
 f  ut, , t 0,  0u  u , (2.11)
0
dt
або система диференційних рівнянь першого порядку:
du
i  0
 f  ut, , u ...,, u , t 0, i 1 , 2 , ..., m,  0u  u . (2.12)
dt i 1 2 m i i
Через u (або u  t , u  t , …, u  t ) позначимо точний
 t
1 2 m
розв’язок рівняння або системи. Введемо по змінній t рівномірну
сітку з кроком  0, тобто розглянемо множину точок:
    nt  , n , 2 , 1 , 0 ... .
 n
Через y  y  t позначимо наближений розв’язок, який є
n n
сітковою точкою, визначеною у вузлах 

Чисельний метод збігається на відрізку  T;0 , якщо він
збігається в будь-якій точці цього відрізку, тобто, для будь-якої

t   T;0 :
y u   t 0 при  0, t  .
t
n n n
Метод має p -ий порядок точності, якщо існує таке p  0, що

y  u  t  O  p при  0.
n n
Найпростіші різницеві схеми:
1) явна схема Ейлера – перший порядок точності:

u
y  y  f  t , y , y  ; (2.13)
n 1 n n n 0 0
2) симетрична схема– другий порядок точності:
1
y  y   f  , yt  f t , y . (2.14)
n  1 n n n n  1 n  1
2
Методи Рунге-Кута відрізняються тим, що в них
допускається обчислення правих частин (2.11), (2.12) не тільки в
точках сітки, й в деяких проміжних точках.
Методи Рунге-Кута:

а) метод другого порядку точності:

35