Page 16 - 4744

1.1.2 Розв’язок нелінійних рівнянь.

Для розв’зання рівнянь виду:

f   0x (1.1)

використовуються наступні методи:

– метод нерухомої точки,
– метод Больцано,

– метод хибного положення,
– метод дотичних,
– метод січних.
Розглянемо їх детальніше. У методі нерухомої точки.

рівняння (1.1) подається у вигляді:

x  g  x , (1.2)

при цьому для функції g  x знаходиться нерухома точка.
Нерухоморю точкою функції  xg називається таке дійсне число
x , що
0

x  g  x . (1.3)
0 0
З геометричної точки зору нерухомі точки – це точки перетину
графіків y  g  x та y  . Нехай  xg є неперервною функцією на
x
відрізку  ba; . Якщо область відображення y  g  x задовільняє
умові y   ba; для всіх x  ba; , то y має нерухому точку на  ba; .

Крім того, нехай  xg визначена на  ba; , і існує додатня константа
K  1, така, що g     Kx  1 для всіх x  ba; . Тоді y має єдину

нерухому точку x на  ba; .
0
Метод Больцано ділення навпіл базується на допущенні про

неперервність g  x на відрізку  ba; . При цьому знаходяться
інтервали, на кінцях яких функція приймає значення різних
знаків. Ітераційна процедура полягає в тому, що вибирається

серединна точка відрізка  ba; :
a  b
c  , (1.4)
2
після чого аналізується одна з трьох можливостей:

a) f  a і  cf мають різні знаки, тоді корень лежить на

інтервалі  ca; ;
b) f  c і  bf мають різні знаки, тоді корень лежить на

інтервалі  cb; ;

16