Page 20 - 4744

з вибором головного елемента по стовбчику). Аналогічну

процедуру можна здійснити і з елементом рядка за номером s
(метод Гауса з вибором головного елемента по рядку). Вказані
перетворення дозволяють підвищити точність розв’язку задачі на
ЕОМ, з використанням арифметичних операцій з фіксованою

точністю.
У випадку, якщо матриця A є сильно розрідженою (велика
кількість її елементів дорівнює 0), використовуються спеціальні

методи розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
Якщо матриця системи є тридіагональною:
a x  a x  b
 11 1 12 2 1
 a x  a x  a x  b
 21 1 22 2 23 3 2
 a 32 x 2  a 33 x 3  a 34 x 4  b 3

                      (1.13)

 a n  ,1 n 2 n 2  a n  ,1 n 1 n 1  a n  ,1 n x n  b n 1
x
x

x
 a n ,n 1 n 1  a n ,n x n  b n 1

розв’язок системи може бути одержаний за методом прогонки,
який полягає в наступному: вважатимемо, що величини x та x
 i 1 i
зв’язані лінійно:

x  M x  L (1.14)
i1 i i i
Підставляючи (1.14) в рівняння:

a x  a x  a x  b , (1.15)
, i i 1 i1 i i, i , i i 1 i1 i
одержуємо

a M x  a L  a x  a x  b , (1.16)
, i i 1 i i , i i 1 i i i, i , i i 1 i1 i
звідки для x можна записати:
i
a b  a L
x   i i,  1 x  i i i,  1 i , (1.17)
i i 1
a i i,  1 M  a ii a i i,  1 M  a i i,
i
i
а на основі (1.14) можна зробити висновок:
a
M   , i i 1 , (1.18)
i1
a M  a
, i i 1 i ii
b  a L
L  i i i,  1 i . (1.19)
i 1
a M  a
i i,  1 i i i,
Враховуючи, що з першого рівняння системи (1.13) витікає:
a b
M   12 ; L  1 , (1.20)
2 2
a a
11 11
одержуємо значення коефіцієнтів M , L , i  , 2  , N .
i i
Значення x , x одержуємо шляхом розв’язку системи:
N N  1

20