Page 19 - 4744

1.1.3 Розв’язок систем алгебраїчних рівнянь.

Для розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь виду:

Ax  B, (1.8)
де A– матриця розміром n  і det   0A , x– вектор невідомих
 n
величин, B – вектор вільних членів. Найбільш універсальним є

метод послідовного виключення невідомих величин Гауса та його
варіації. При цьому матриця системи приводиться до
діагонального виду. Нехай система задається у вигляді:

a 11 x 1  a 12 x 2   a 1 n x n  b 1
 
a
 21 x 1  a 22 x 2  a 2 n x n  b 2 (1.9)

            
 a x  a x   a x  b
 n1 1 n2 2 nn n n
Перше рівняння залишаємо без змін, інші рівняння
записуємо, викоритовуючи наступні значення для елементів
матриці A:
~
a is : a  is a  a 1s a  1 i , i  , 2  ,n , s  , 1  ,n
11
~ (1.10)
b : b  a  b a 
i i 11 i 1 i
При цьому в системі (1.9) в рівняннях, починаючи з другого
і закінчуючи останнім, виключається змінна x . На другому кроці
1
перші два рівняння не зазнають змін, інші рівняння записуються з
використанням нових значень для елементів матриці A:
~ ~ ~ ~ ~
~
a : a  a  a a  , i  , 3  ,n , s  , 2  ,n
is is 22 2s 2 i
~ ~ ~ (1.11)
~
b : b  ~ b ~
a 
a 
i i 22 i 2 i
Повторюючи вказану процедуру n  1 раз, приводимо
матрицю A до діагонального виду, після чого обчислюємо
невідомі величини за формулами:
N
s
b   a sk x k
x  k s1 (1.12)
s ss
a
де a , b – значення компонент матриці A та вектора B після
sk
s
приведення до діагонального виду.
Метод Гауса з вибором головного елемента полягає в тому,
що на кожному кроці в якості елемента a , де s – номер кроку
ss
ітераційного процесу вибирається той з елементів стовбчика за
номером s , який є максимальним за модулем, при цьому
відповідно переставляються рівняння системи (1.8) (метод Гауса

19