Page 21 - 4744

x
a N ,N 1 N 1  a N ,N x N  b N ,
 (1.21)
x  M x  L ,
 N 1 N N N
інші значення x одержуємо за формулою (1.14).
k
Якщо матрицю A можна розкласти в добуток:
A  LU , (1.22)
де L– нижня трикутна матриця з елементами рівними 1 на

головній діагоналі, U – верхня трикутна матриця, то розв’язок
системи (1.8) зводиться до розв’язку двох систем з діагональними
матрицями LY  – відносно Y , та UX  – відносно X .
B
Y
Фактично елементи матриці U співпадають з елементами
матриці A, приведеної до трикутного виду, елементами матриці L
є коефіцієнти, на які треба множити відповідні рівняння для
виключення змінних при реалізації метода Гауса.

1.1.4 Ітераційні методи розв’язку систем алгебраїчних

рівнянь.
Розглянемо методи Якобі та Гауса-Зейделя.

Ітераційний метод Якобі – метод розв’язання системи
рівнянь Ax  за умови a ii  0 – передбачає розв’язання кожного
b
рівнянняґ системи окремо відносно тільки однієї змінної в

припущенні, що всі інші змінні фіксовані. Ітераційна процедура
методу Якобі має такий вигляд:
n
b   a ij x  k
i
j
k 1  j i , 1  j
a i  , i 1 2 ,  n. (1.23)
a ii
Запишемо метод Якобі в матричній формі. Розділимо
матрицю A на матриці – діагональну D та нижню L і верхню

U трикутні:
A  D (L  E  U ) , (1.24)

21