Page 14 - 4744

Можна зауважити, що абсолютна похибка sin і cos не
x
x
перевищує абсолютної похибки аргументу.
Абсолютна похибка функції y  f x , x ,..., x  обумовлена
1 2 n
y  y  y 
похибками своїх аргументів:    x   x  ...   x
y 1 2 n
x  x  x 
1 2 n
Похибка усікання виникає коли складний математичний
вираз заміщується більш простою формулою. Термін виник з
техніки заміни складних функцій вкороченим рядом Тейлора.
Елементарні функції можна розкласти у нескінченний ряд, але
при обчисленні ми можемо брати лише перші члени ряду.

Помилка округлення пов‘язана з обмеженим
представленням мантиси десяткового числа. При комп‘ютерних
обчисленнях результати арифметичних операцій округлюються і

похибка поширюється на наступні обчислення, тому необхідно
вибирати такий тип даних для збереження значень, який на
декілька розрядів довший ніж задана точність.

Нехай задана функція   Cxf  [a ,b ].Многочленом Тейлора n-
n 1
го степені функції f в точці x  [a ,b ] називається многочлен
0
вигляду:
n f  k  x
k
T n   x  0   xx 0 
k 0 k!
Многочлен Тейлора має ту властивість, що в точці x  всі
x
0
його похідні до n-го порядку включно співпадають з
відповідними похідними функції f

T  k  x  f  k   kx ,  1 , 0 ,... n
n 0 0
Похибка, що виникає при заміні функції f на многочлен

Тейлора, виражається залишковим членом формули Тейлора
f n  1   n 1
f   Tx    x  x  x  , x  [a ,b ],  - деяка точка, що строго
n 0
n  ! 1
лежить між значеннями x і x при x  . Даний залишковий член
x
0 0
записаний у формі Лагранжа, яка є зручною для обчислення
оцінки похибки. Так як похідна f  n  1 неперервна на відрізку
x  [a ,b ], то вона на цьому відрізку обмежена і

M  max f  n 1    x 
n 1
[ a, b] .
Тоді:
M n 1 M
f   Tx    x  n 1 x  x , max f   Tx    x  n 1 l n 1 , l  max{ x  a ,b  x }.
n 0 n 0 0
n  ! 1 [a ,b ] n  ! 1

14