Page 38 - 4621

Критерій Рауса Цей критерій стійкості запропонував у 1877 р. англійський
математик Е. Раус у вигляді деякого правила (алгоритму). За цим правилом розробляють
таблицю.
Таблиця Рауса складається з коефіцієнтів характеристичного рівняння (7.1)
таким чином: у першій лінійці записують у порядку спадання коефіцієнти рівняння з
парними індексами, у другій  з непарними індексами, а в наступних лінійках розміщені
коефіцієнти, які розраховують за формулою
 r 

r  r  r  i  ,1 k 1  , (7.4)
i , k i  ,2 k 1  i  1,2 r 
 i  1,1 
де і  індекс, що означає номеррядка, k  індекс, що означає номер стовпчика таблиці.
Формулювання критерію Рауса. Для того щоб САК була стійкою,
необхідно і достатньо, щоб всі величини першого стовпчика таблиці Рауса були
додатними.
Якщо не всі коефіцієнти першого стовпця додатні, то система нестійка, а число
правих коренів (індекс нестійкості) характеристичного рівняння дорівнює числу змін
знака в першому стовпці таблиці Рауса.
Якщо принаймі один коефіцієнт першого стовпчика рівний 0 при додатних
значеннях інших коефіцієнтів цього стовпчика, то система перебуває на границі
стійкості.
Критерій Рауса знайшов широке застосування при дослідженні впливу на
стійкість коефіцієнтів характеристичного рівняння або окремих параметрів системи, які
не дуже складним чином входять до цих коефіцієнтів.

7.2 Частотні критерії
Критерій Михайлова. Цей критерій був запропонований в 1938 р. Він зручний
для дослідження стійкості складних систем, порядок диференційного рівняння яких
більше ніж 5. Для дослідження за цим критерієм необхідно в лівій частині характеристичного
рівняння F ( ) p замінити змінну p на чисто уявну змінну j. Отримуємо функцію
комплексної змінної (характеристичний поліном
n
F ( j )  a ( j )  a ( j ) n 1  ... a ( j ) a (7.5)
n n 1 1 0
Після вказаної заміни можна виділити дійсну і уявну частини:
F ( j )  P ( )  jQ ( ). Обраховують значення (P ), Q ( ) при збільшенні ω від нуля
(ω = 0) до достатньо великої величини (   ). Відкладаючи послідовно обраховані
значення на комплексній площині, отримують деяку криву (годограф Михайлова), яку
описує кінець вектора функції F ( j ) . Оскільки до складу (P ) входять лише парні
степені  , то крива симетрична щодо осі (P )..
Формулювання критерію Михайлова. САК є стійкою, якщо при зміні  від 0 до
 вектор F(j) (годограф Михайлова) повернеться проти годинникової стрілки на кут n/2,
не перетворюючись при цьому в 0, де n – степінь характеристичного рівняння.
На рис. 7.1, а зображені криві Михайлова для стійких систем від першого до
п'ятого порядків. Криву Михайлова для стійкої системи називають правильною.
На рис. 7.1, б, в показані криві Михайлова відповідно для стійкої і нестійкої
систем четвертого порядку. Умовою знаходження системи на межі стійкості є
проходження годографа через початок координат комплексної площини. Запас стійкості
системи можна визначити за величиною віддалі від точки перетину годографом дійсної
осі до початку координат.

38