Page 34 - 4621

a n p n  a n  1 p n  1    a 1 p  a 0  0. (6.6)
Таким чином, Y (t ) має суму складових, кількість яких визначається порядком
n
системи n. Загалом у рівнянні (6.6) оператор p замінюється на комплексну змінну λ. Тоді
корені рівняння (6.6) є комплексними та утворюють пари спряжених комплексних чисел
    j . (6.7)
, i i 1 i i
Дійсна частина кореня  може бути додатною або від’ємною. Перехідна
i
 i t
складова Y (t ) прямує до нуля лише тоді, коли кожна складова C  e  0 . Тоді
n i
можна визначити залежність стійкості системи від коренів характеристичного полінома.
На рис. 6.2 показано, як впливає місце розташування на комплексній площині коренів
характеристичного рівняння на складові вільного руху системи:
- корені дійсні: Y    . Якщо   0, то в системі виникає неколивальний
2 , 1
(аперіодичний) перехідний процес, який при t  прямує до нуля, тобто система
стійка. При   0 перехідний процес розбіжний, тобто система нестійка;
- корені комплексні попарно спряжені викликають коливальний перехідний
процес, причому при   0 - збіжний;
- корені уявні відповідають перехідному процесу у вигляді синусоїди (система
на межі стійкості).

Рисунок 6.2 – Вигляд перехідних процесів при різних розташуваннях коренів
характеристичного рівняння на комплексній площині

Може бути також нульовий корінь, тоді значення Y(t) набуває постійної
величини.
Наведений матеріал дозволяє зробити такі висновки:
- перехідний процес у системі – сума коливальних та аперіодичних складових,
при цьому кожна коливальна складова відповідає парі комплексних спряжених коренів, а
кожна аперідична складова – дійсному кореню;
- загальною умовою загасання всіх складових і перехідного процесу в цілому є
від’ємність дійсних частин всіх коренів характеристичного рівняння системи, тобто
полюсів (нулів знаменника) передавальної функції системи;
- якщо є хоча б один корінь з додатньою дійсною частиною, то йому відповідає
розбіжна складова перехідного процесу, тобто система нестійка;
- за наявності уявних коренів характеристичного рівняння в системі виникають
назагасаючі коливання з частотою, яка дорівнює  - границя стійкості.
i
Для стійкості системи всі корені повинні лежати в лівій напівплощині (бути
“лівими”) Уявна вісь є межею стійкості.

Im
34