Page 37 - 4621
P. 37
; ; ;
.
Формулювання критерію Гурвіца. Для стійкості САК необхідно і достатньо,
щоб при додатності всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння були додатні головний
визначник і всі діагональні його мінори.
Для характеристичних рівнянь першого, другого, третього і четвертого порядків
з визначення їх головних визначників, можна одержати такі умови стійкості:
- для рівняння першого порядку (п = 1), тобто a p a 0, умови стійкості:
1 0
a 0 a 0 ,
1 0
- для рівняння другого порядку (п = 2), тобто a p 2 a p a 0, умови
2 1 0
стійкості:
a 0 a 0 a 0 ,
2 1 0
- для рівняння третього порядку (п=3), тобто a p 3 a p 2 a p a 0 , умови
3 2 1 0
стійкості:
a 0 a 0 a 0 a 0 a a a a 0 ,
3 2 1 0 2 1 3 0
- для рівняння четвертого порядку (п=4), тобто a p 4 a p 3 a p 2 a p a 0 ,
4 3 2 1 0
умови стійкості:
a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a ( aa a a ) a 2 a 0 .
4 3 2 1 0 1 3 21 4 1 1 0
Таким чином, необхідною і достатньою умовою стійкості для систем першого і
другого порядків є додатність коефіцієнтів характеристичного рівняння.
Для рівняння третього і четвертого порядків окрім додатності коефіцієнтів
необхідне виконання додаткових нерівностей. При n 5 число подібних додаткових
нерівностей зростає, процес розкриття визначників стає досить трудомістким і
громіздким. Тому критерій стійкості Гурвіца звичайно застосовують при n 4.
Останній стовпець визначника має лише один елемент a 0 0 , тому
n
використовується відома залежність:
a , (7.3)
n 0 n 1
яка розпадається на дві за умови 0 , a , 0 0. Коли 0 , система
n 0 n 1 n
знаходиться на границі стійкості. При цьому при a 0 0 існує один нульовий корінь
(аперіодична межа стійкості), а при n 1 0 існує пара уявних коренів (коливальна
межа стійкості).
Використовуючи критерій Гурвіца, можна при заданих параметрах системи
прийняти за невідомий який-небудь один параметр (наприклад, коефіцієнт
підсилення, сталу часу і т.д.) і визначити його граничне (критичне) значення, при
якому система буде знаходитися на границі стійкості.
37
