Page 35 - 4621

система стійка система нестійка

Re

межа стійкості

Рисунок 6.3 - Розташування коренів характеристичного рівняння на
комплексній площині

На межі стійкості може розташовуватись нульовий корінь або пара чисто
уявних коренів. Необхідною, але недостатньою умовою стійкості є додатність всіх
коефіцієнтів характеристичного полінома.
Застосовуючи сформульовану вище умову для оцінки стійкості реальних систем
не слід забувати, що лінійні рівняння типу (6.2), як правило, виходять у результаті
спрощень лінеаризації вихідних нелінійних рівнянь. Виникає запитання: якою мірою
оцінка стійкості за лінеаризованим рівнянням буде справедлива для реальної системи, чи
не зроблять істотний вплив на результат аналізу відкинуті при лінеаризації члени
розкладання ?
Відповідь на нього була дана російським математиком А. М. Ляпуновим. Він
сформулював і довів наступну теорему: якщо характеристичне рівняння лінеаризованої
системи має хоча б один нульовий корінь або одну пару уявних коренів, то судити про
стійкість реальної системи за лінеаризованим рівнянням не можна. Відкинуті при
лінеаризації малі члени можуть зробити систему стійкою або нестійкою, тому стійкість
реальної системи необхідно оцінювати по вихідному нелінійному рівнянню.

Таким чином, забезпечення стійкості є основною задачею при побудові САК.
Теоретичне вивчення стійкості САК базується на визначенні коренів характеристичного
рівняння.

Контрольні питання

1. Дайте визначення поняття “ стійка автоматична система регулювання”.
2. Зобразіть перехідні процеси для стійкої, нестійкої системи та знаходження її
на межі стійкості.
3. Що таке вільний (перехідний) та змушений рух системи?
4. Проведіть аналіз характеристичного рівняння системи. Поясніть, чому дійсні
корені цього рівняння повинні бути від’ємними для забезпечення стійкості?
5. Покажіть розташування коренів характеристичного рівняння на комплексній
площині.

35