Page 99 - 4443

Таким чином, ряд (14.1) на відрізку [0; x], |x| < R, можна інтегрувати і диференціювати
скільки завгодно раз в будь-якій точці x ∈ (−R, R). При цьому інтервалом збіжності кожного
ряду є той самий інтервал (−R; R).
Сформульовані властивості степеневих рядів широко використовуються в теоретичних до-
слідженнях і наближених обчисленнях.

∞
n 2n+1
∑ (−1) x
Приклад 14.2. Знайти суму ряду 2n+1 , |x| < 1. ,
n=0

Розв’язання. Позначимо суму даного ряду через S(x), тоді

∞
∑
6
4
n 2n
2
′
S (x) = (−1) x = 1 − x + x − x + · · · .
n=0
2
Цю суму можна розглядати як геометричну прогресію з першим членом a = 1 і знаменником q = −x .
Знайшовши суму прогресії, дістанемо
1
6
2
2
′
S (x) = = 1 − x + x − x + · · · .
1 + x 2
Інтегруючи цю рівність на відрізку [0, x] ⊂ (−1; 1), маємо
x x x
∫ ∫ ∫
dx
n 2n
2
′
S (x)dx = (1 − x + · · · + (−1) x + · · · )dx = ,
1 + x 2
0 0 0
звідки
n 2n+1
∞
x 3 n x 2n+1 ∑ (−1) x
x − + · · · + (−1) + · · · = = arctg x, |x| ≤ 1.
3 2n + 1 2n + 1
n=0
Тема 15. Ряд Тейлора і Маклорена

Ряд Тейлора

Досі ми вивчали властивості суми заданого степеневого ряду. Вважатимемо тепер, що функція
задана, і з’ясуємо, за яких умов цю функцію можна подати у вигляді степеневого ряду і як
знайти цей ряд. Нехай функція f(x) є сумою степеневого ряду

n
f(x) = a 0 + a 1 (x − x 0 ) + · · · + a n (x − x 0 ) + · · · (15.1)

в інтервалі (x 0 − R; x 0 + R). У цьому разі кажуть, що функція f(x) розвинена в степеневий
ряд в околі точки x 0 або за степенями x − x 0 . Знайдемо коефіцієнти ряду (15.1). Для цього, згі-
дно з властивістю 4, послідовно диференціюватимемо ряд (15.1) і підставлятимемо в знайдені
похідні значення x = x 0 :

n
2
3
f(x)=a 0 + a 1 (x − x 0 ) + a 2 (x − x 0 ) + a 3 (x − x 0 ) + · · · + a n (x − x 0 ) + · · · , f(x 0 )=a 0 ;
2
′
f (x)=1 · a 1 + 2 · a 2 (x − x ) ) + 3a 3 (x − x 0 ) + · · · + na n (x − x 0 ) n−1 + · · · , f (x 0 )=1 · a 1 ;
′
99