Page 103 - 4443

Розвинення елементарних функцій в ряд Маклорена

2. Нехай f(x) = sin x. Дістанемо:
( π )
′
(а) f (x) = cos x = sin x + ;
2
( π )
′′
f (x) = − sin x = sin x + 2 · ;
2
π
( )
′′′
f (x) = − cos x = sin x + 3 · ;
2
. . .
( π )
f (n) (x) = sin x + n , n ∈ N;
2

0, n = 0, 2, 4, 6, . . . ;

π
(б) f (n) (0) = sin n = −1, n = 3, 7, 11, . . . ;
2


+1, n = 1, 5, 9, . . . ;

∞ n 2n+1
x 3 x 5 n x 2n+1 ∑ (−1) x a n (2n+3)!
(в) x− + −· · ·+(−1) +· · · = ; R = lim = lim =
3! 5! (2n+1)! (2n+1)! a n+1 (2n+1)!
n=0 n→∞ n→∞
∞;
( )
(г) |f (n) (x)| = sin x + n π ≤ 1 < 2, x ∈ (−∞, +∞), n = 0, 1, 2, . . . , тобто формулу

2
(15.12) доведено.
3. Нехай f(x) = cos x. Формулу (15.13) можна довести так само, як і формулу (15.12). Проте
це можна зробити значно простіше, продиференціювавши почленно ряд (15.12).
m
4. Нехай f(x) = (1 + x) , m ∈ R. Маємо:
(а) f (x) = m(1 + x) m−1 , f (x) = m(m − 1)(1 + x) m−2 , . . . , f (n) (x) = m(m − 1) . . . (m −
′
′
n + 1)(1 + x) m−n , n ∈ N;
(б) f (n) (0) = m(m − 1) . . . (m − n + 1), n ∈ N;
(в)
m(m − 1) m(m − 1)(m − 2)
3
2
1 + mx + x + x + . . . +
2! 3!
∞
m(m − 1) . . . (m − n + 1) ∑ m(m − 1) . . . (m − n + 1)
n
n
+ x + . . . = x ;
n! n!
n=0

a n m(m − 1) . . . (m − n + 1)(n + 1)!
R = lim = lim =

n→∞ n!m(m − 1) . . . (m − n + 1)(m − n)
n→∞ a n+1

n + 1

= lim = 1,
n→∞ m − n

тобто знайдений ряд збіжний в інтервалі (−1, 1). Доведення, що на цьому інтервалі
lim R n (x) = 0, опускаємо.
n→∞
Ряд (15.14) називають біноміальним. Якщо m ∈ N дістаємо відоме розвинення двочлена,
яке називають біномом Ньютона. Збіжність біноміального ряду в кінцевих точках інтер-
m
валу (−1; 1) залежить від числа m. Ряд (15.14) збіжний до функції (1+x) в таких випад-
ках: при m ≥ 0, якщо x ∈ [−1; 1]; при −1 < m < 0, якщо x ∈ (−1; 1); при m ≤ 1, якщо
x ∈ (−1; 1). Приймемо ці твердження без доведення.
5. Нехай f(x) = 1 . Формулу (15.15) виводимо трьома способами: користуючись правилом
1−x
розвинення функції в ряд; застосувавши формулу (15.14) і поклавши в ній m = −1 і −x
2
n
замість x; розглядаючи ряд 1 + x + x + . . . + x + . . . як геометричну прогресію, перший
член якої дорівнює одиниці, а знаменник q = x. Відомо, що даний ряд збіжний при |x| < 1
−1
і сума його дорівнює (1 − x) .

103