Page 96 - 4443

Степеневі ряди

Всякий степеневий ряд вигляду (14.1) збіжний в точці x = 0 до суми S = a 0 . Тому область
збіжності степеневого ряду завжди містить принаймні одну точку. Детальніші відомості про
область збіжності ряду (14.1) дістанемо з наступної, дуже важливої в теорії рядів теореми.

Теорема 14.1.

(Абеля) Якщо степеневий ряд (14.1) збіжний при x = x 0 ̸= 0, то він абсолютно збіжний
для всіх значень x, що задовольняють нерівність |x| < |x 0 |.
Якщо при x = x 1 ряд (14.1) розбіжний, то він розбіжний всюди, де |x| > |x 1 |. ⋆

ДОВЕДЕННЯ. Оскільки за умовою ряд (14.1) збіжний в точці x 0 , то збіжним є числовий
∞
∑
n
n
n
ряд a n x , отже, a n x → 0 при n → ∞. Звідси випливає, що послідовність {a n x } обмежена,
0
0
0
n=0
n
тобто існує таке число M, що |a n x | ≤ M, n = 0, 1, 2, . . . .
0
x
Враховуючи, що для |x| ≤ |x 0 | величина q = < 1, маємо
x 0
n
x
n n n
|a n x | = |a n x | · ≤ Mq , n = 0, 1, 2, . . . .
0
x
n
0
Тобто модуль кожного члена ряду (14.1) не перевищує відповідного члена збіжної геометричної
прогресії. Тоді за ознакою порівняння при |x| ≤ |x 0 | ряд (14.1) абсолютно збіжний.
∞
∑
n
Нехай тепер ряд a n x розбіжний, при x = x 1 . Тоді ряд (14.1) буде розбіжним і для всіх x,
1
n=0
що задовольняють нерівність |x| ≥ |x 1 |. Справді, якби припустити, що він збіжний в якій-небудь
точці x, що задовольняє цю нерівність, то за доведеним він був би збіжним і в точці x 1 , бо |x 1 | ≤
|x|. А це суперечить тому, що в точці x 1 ряд розбіжний. 2
Теорема Абеля характеризує множини точок збіжності та розбіжності степеневого ряду.
Дійсно, якщо x 0 — точка збіжності ряду (14.1), то весь інтервал (−|x 0 |; |x 0 |) заповнено точками
абсолютної збіжності цього ряду. Якщо x 1 — точка розбіжності ряду (14.1), то вся нескінченна
півпряма (−∞; −|x 1 |) зліва від точки −|x 1 | і вся нескінченна півпряма (|x 1 |; +∞) справа від
точки |x 1 | складається з точок розбіжності цього ряду.
Отже, для області збіжності степеневого ряду можливі три випадки:
1) ряд (14.1) збіжний лише в точці x = 0;
2) ряд (14.1) збіжний при всіх x ∈ (−∞; +∞);
3) існує таке скінченне число R ∈ (0; +∞), що при |x| < R степеневий ряд абсолютно
збіжний, а при |x| > R — розбіжний.
Число R називають радіусом збіжності степеневого ряду, а інтервал (−R; R) — інтервалом
збіжності.

Вкажемо спосіб визначення радіуса збіжності степеневого ряду. Складемо ряд із модулів
∞
∑
n
членів ряду (14.1): |a n x |. Припустимо, що існує границя
n=0
n+1
a n+1 x a n+1
lim = lim · |x| = L|x| ̸= 0, x ̸= 0.
n→∞ a n x n n→∞ a n

Згідно ознаки д’Аламбера ряд (14.1) є абсолютно збіжним при L|x| < 1, або |x| < 1 , і розбі-
L
1
1
жним при L|x| > 1, або |x| > 1 . Отже, інтервал (− ; ) є інтервалом абсолютної збіжності
L L L
ряду (14.1), а число

1 a n
R = = lim (14.3)
L n→∞ a n+1

96