Page 100 - 4443

Ряд Тейлора і Маклорена

′′
′′
f (x)=1 · 2a 2 + 3 · 2a 3 (x − x 0 ) + · · · + n(n − 1)a n (x − x ) ) n−2 + · · · , f (x 0 )=1 · 2a 2 ;
′′′
f (x)= 4 · 3 · 2 · 1a 4 + · · · + n(n − 1)(n − 2)(n − 3)(x − x 0 ) n−4 + · · · ;
f IV (x 0 ) = 1 · 2 · 3 · 4a 4 ;
. . .
f (n) (x)=n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1a n + (n + 1)n(n − 1) . . . 2a n+1 (x − x 0 ) + · · · ;

f (n) (x 0 ) = 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1)na n .

Звідси знаходимо коефіцієнти

′′
f (x 0 ) f (x 0 ) f (n) (x 0 )
′
a 0 = f(x 0 ), a 1 = , a 2 = , . . . , a n = , . . . .
1! 2! n!
Підставивши значення цих коефіцієнтів у рівність (15.1), дістанемо
′
′′
f (x 0 ) f (x 0 ) f (n) (x 0 )
2
f(x) = f(x 0 ) + (x − x 0 ) + (x − x 0 ) + · · · + + · · ·
1! 2! n!
Ряд
′
′′
f (x 0 ) f (x 0 ) f (n) (x 0 )
n
2
f(x 0 ) + (x − x 0 ) + (x − x 0 ) + · · · + (x − x 0 ) + · · · (15.2)
1! 2! n!
називається рядом Тейлора функції f(x). Отже, доведено таку теорему.
Теорема 15.1.

Якщо функцію f(x) в інтервалі (x 0 − R; x 0 + R) можна розвинути у степеневий ряд,
то цей ряд єдиний і є рядом Тейлора даної функції. ⋆

Нехай тепер f(x) — довільна нескінченне число разів диференційовна функція. Складемо
для неї ряд (15.2). Виявляється, що сума ряду (15.2) не завжди збігається з функцією f(x). Іна-
кше кажучи, ряд (15.2) може збігатися до іншої функції, а не до функції f(x), для якої його
формально складено. Встановимо умови, за яких сума ряду (15.2) збігається з функцією f(x).

Теорема 15.2.

Для того, щоб ряд Тейлора (15.2) збігався до функції f(x) в інтервалі (x 0 − R; x 0 + R),
тобто

f (x 0 ) f (x 0 ) f (n) (x 0 )
′′
′
2
f(x) = f(x 0 ) + (x − x 0 ) + (x − x 0 ) + · · · + + · · ·
1! 2! n!
необхідно і достатньо, щоб в цьому інтервалі функція мала похідні всіх порядків і за-
лишковий член її формули Тейлора прямував до нуля при n → ∞ для всіх x з цього
інтервалу:
lim R n (x) = 0, x ∈ (x 0 − R; x 0 + R). (15.3)
⋆
n→∞

ДОВЕДЕННЯ. Відомо, що для функції, яка маєпохідні всіх порядків, справедлива формула
Тейлора

f (x 0 ) f (x 0 ) f (n) (x 0 )
′′
′
2
f(x) = f(x 0 ) + (x − x 0 ) + (x − x 0 ) + · · · + + R n (x) (15.4)
1! 2! n!
100