Page 95 - 4443

∞
1 n n ∑ n
Розв’язання. Оскільки при |x| ≤ і n ∈ N виконується нерівність |nx | < n і ряд n збіжний,
2 2 2
n=1
2
3
то за ознакою Веєрштраса ряд 1 + 2x + 3x + 4x + . . . рівномірно збіжний при |x| < 1 . Цей ряд
2
утворюється почленним диференціюванням геометричної прогресії
1 1
4
3
2
1 + x + x + x + x + · · · = , |x| ≤ .
1 − x 2
За властивістю 3 рівномірно збіжних рядів маємо
( )
d d 1 1
4
3
2
(1 + x + x + x + x + · · · ) = , |x| ≤ ,
dx dx 1 − x 2
або
1 1
3
2
1 + 2x + 3x + 4x + · · · = , |x| ≤ ,
(1 − x) 2 2
звідки
x 1
4
3
2
3
2
x(1 + 2x + 3x + 4x + · · · ) = x + 2x + 3x + 4x + · · · = , |x| ≤ .
(1 − x) 2 2

Тема 14. Степеневі ряди

Поняття степеневого ряду. Теорема Абеля. Інтервал та радіус

збіжності степеневого ряду

Означення 14.1. Степеневим рядом називається функціональний ряд вигляду

∞
∑
2
n
n
a 0 + a 1 x + a 2 x + · · · a n x + · · · = a n x , (14.1)
✓
n=0
де a 0 , a 1 , . . . , a n , . . . — дійсні числа, які називаються коефіцієнтами ряду.

Означення 14.2. Степеневим рядом за степенями двочлена x − x 0 , де x 0 — дійсне чи-
сло, називають функціональний ряд вигляду

∞
∑
n
n
a 0 + a 1 (x − x 0 ) + · · · + a n (x − x 0 ) + · · · = a n (x − x 0 ) . (14.2)
n=0 ✓

Ряд (14.2) заміною змінної x − x 0 = t зводиться до ряду вигляду (14.1), тому надалі розгляда-
тимемо лише степеневі ряди вигляду (14.1).

95