Page 94 - 4443

Функціональні ряди

відрізку [a; b], якщо існує додатний збіжний числовий ряд

∞
∑
(13.3)
a n
n=1
такий, що
|u n (x)| ≤ a n , ∀x ∈ [a, b], n = 1, 2, . . . (13.4)
⋆

ДОВЕДЕННЯ. Зумови(13.4)іознакипорівняннявипливає,щоряд(13.1)єабсолютнозбі-
жним у довільній точці x 0 ∈ [a; b]. З абсолютної збіжності ряду (13.1) дістанемо абсолютну збі-
жність його залишку. Маємо

|r n (x)| = |u n+1 (x) + u n+2 (x) + · · · | ≤
≤ |u n+1 (x)| + |u n+2 (x)| + · · · ≤ a n+1 + a n+2 + · · · = R n .

Але залишок ряду (13.3) R n → 0 при n → ∞, тому для довільного ε > 0 існує незалежний від x
номер N = N(ε) такий, що R n < ε при n > N. Тоді для всіх n > N і x ∈ [a; b] виконується
нерівність |r n (x)| < ε. 2

Приклад 13.1. Знайти область збіжності функціонального ряду

1 1 1
+ + · · · + + · · · .
x x 2 x n

Розв’язання. Кожен член ряду визначений на множині R \ {0}. На цій множині ряд є геометричною

прогресією із знаменником q = 1 , тому при |q| = 1 < 1 або |x| > 1 заданий ряд збіжний. Отже,
x
x
∪
(−∞; −1) (1; +∞) — область збіжності цього ряду.

Приклад 13.2. Дослідити на рівномірну збіжність ряд

sin x sin 2x sin nx
+ + · · · + + · · · .
1! 2! n!

Розв’язання. Скористаємося ознакою Веєрштраса. Оскільки при −∞ < x < +∞ i n ∈ N sin nx ≤
n!
∞
1 і ряд ∑ 1 збіжний (за ознакою д’Аламбера), то заданий функціональний ряд абсолютно і рівномірно
n! n!
n=1
збіжний на всій числовій осі.

Приклад 13.3. Знайти суму ряду
1
n
2
x + 2x + · · · + nx + · · · , |x| ≤ .
2

94