Page 104 - 4443

Застосування степеневих рядів

6. Не зупиняючись на деталях, зазначимо, що коли у формулі (15.15) покласти −x замість
2
x, а потім −x замість x і знайдені ряди проінтегрувати, то дістанемо розвинення у сте-
пеневий ряд функції ln(1 + x) і функції arctg x (формули (15.16), (15.17)).

Ряди (15.11)-(15.17) використовуються при знаходженні степеневих рядів для інших фун-
кцій.

2
3
Приклад 15.1. Розвинути в ряд функцію f(x) = x ln(1 − x ). ,

Розв’язання. Поклавши у формулі (15.16) −x замість x маємо
3

x 6 x 9 x 3n
3 3
ln(1 − x ) = −x − − − . . . − − . . . , x ∈ [−1, 1];
2 3 n
x 8 x 11 x 3n+2
2 3 5
x ln(1 − x ) = −x − − − . . . − − . . . , x ∈ [−1, −1).
2 3 n

1
Приклад 15.2. Розвинути в ряд по степенях x функцію f(x) = √ . ,
1−x 2

Розв’язання. Поклавши у формулі (15.14) −x замість x, при m = − дістанемо
1
2
2
1 1 2 1 · 3 4 1 · 2 · 5 . . . (2n − 1) 2n
√ = 1 + x + x + . . . + x + . . . , x ∈ (−1; 1).
1 − x 2 2 2 · 4 2 · 4 · 6 . . . 2n

Приклад 15.3. Розвинути в ряд по степенях x функцію f(x) = arcsin x. ,

Розв’язання. Інтегруючи знайдений в попередньому прикладі ряд в межах від 0 до x, |x| < 1, дістанемо

1 x 3 1 · 3 x 5 1 · 3 . . . (2n − 1) x 2n+1
arcsin x = x + + + . . . + + . . . , x ∈ (−1, 1).
2 3 2 · 4 5 2 · 4 . . . 2n 2n + 1

Можна довести, що ця рівність справедлива і в точках де x = ±1.

Тема 16. Застосування степеневих рядів

Наближені обчислення значень функцій

Нехай треба обчислити значення функції f(x) при x = x 0 . Якщо функцію f(x) можна розвинути
в степеневий ряд в інтервалі (−R; R) і x 0 ∈ (−R; R), то точне значення f(x 0 ) дорівнює сумі
цього ряду при x = x 0 , а наближене — частинній сумі S n (x 0 ). Похибку |f(x 0 ) − S n (x 0 )| можна
знайти, оцінюючи залишок ряду r n (x 0 ). Для рядів лейбніцевого типу

|r n (x 0 )| = |u n+1 (x 0 ) + u n+2 (x 0 ) + u n+3 (x 0 ) + . . . | ≤ |u n+1 (x 0 )|.

104