Page 97 - 4443

Поняття степеневого ряду. Теорема Абеля. Інтервал та радіус збіжності степеневого ряду

— його радіусом збіжності.
Аналогічно скориставшись ознакою Коші, можна встановити, що
1
R = lim √ . (14.4)
n→∞ n a n
Зауваження 14.1. Неважко переконатись, що коли

a
n+1 √
L = lim = 0 або L = lim n a = 0,
n

n→∞ a n n→∞
то ряд (14.1) є абсолютно збіжним на всій числовій осі. У цьому разі вважають R = +∞.
Якщо ж L = ∞, то R = 0, і степеневий ряд має лише одну точку збіжності x = 0.

Зауваження 14.2. Питання про збіжність ряду при x = ±R (на кінцях інтер-
валу збіжності) розв’язується для кожного ряду окремо. Таким чином, область збіжності

степеневого ряду може відрізнятись від інтервалу (−R; R) не більше ніж двома точками
x = ±R.

Зауваження 14.3. Радіус збіжності ряду (14.2) визначається за тими самими фор-
мулами (14.3) і (14.4), що і ряду (14.1).
Інтервал збіжності ряду (14.2) знаходять з нерівності |x−x | ≤ R, тобто має вигляд
0
(x − R, x + R).
0
0

Зауваження 14.4. На практиці інтервал збіжності степеневого ряду часто знахо-
дять за ознакою д’Аламбера або ознакою Коші, застосовуючи їх до ряду, складеного з модулів
членів заданого ряду.

∞ ∞
∑ n ∑
n
Приклад 14.1. Знайти область збіжності рядів: а) x ; б) (nx) ;
n!
n=0 n=0
∞ ∞
∑ x n ∑ (x+2) n
в) 2n+1 ; г) n 2 . ,
n=0 n=0
Розв’язання. Скористаємося формулою (14.3).

= lim = lim (n + 1) = ∞. Отже, даний ряд абсолютно збіжний на
a n (n+1)!
а) R = lim
a n+1 n!
n→∞ n→∞ n→∞

всій числовій осі.
a n n n (( n ) n 1 ) 1 · 0 = 0, тобто даний ряд збіжний
б) R = lim = lim (n+1) n+1 = lim n+1 n+1 = e
a n+1
n→∞ n→∞ n→∞
лише в точці x = 0.

a n 2n+3 = 1, отже, (−1; 1) інтервал збіжності даного ряду. Дослідимо
в) R = lim = lim 2n+1
a n+1
n→∞ n→∞
збіжність ряду на кінцях інтервалу. При x = −1 маємо числовий ряд
∞ n
∑ (−1) 1 1 1
= 1 − + − + . . . ,
2n + 1 3 5 7
n=0
97