Page 101 - 4443

Ряд Тейлора

де
f (n+1) (x + θ(x − x 0 ))
R n (x) = (x − x 0 ) n+1 , 0 ≤ θ ≤ 1, (15.5)
(n + 1)!
— залишковий член формули Тейлора у формі Лагранжа.
Якщопозначитиn-участиннусумуряду(15.2)черезS n (x),тоформула(15.4)матимевигляд

f(x) = S n (x) + R n (x). (15.6)

Нехай f(x) — сума ряду (15.2), тобто lim S n (x) = f(x), тоді з формули (15.6) випливає
n→∞
умова (15.3). Навпаки, якщо виконується умова (15.3), то з формули (15.6) випливає рівність
lim S n (x) = f(x). 2
n→∞

Таким чином, функцію f(x) можна розвинути в ряд Тейлора в інтервалі (x 0 − R; x 0 + R)
тоді і тільки тоді, коли виконуються такі умови: 1. вона має похідні всіх порядків; 2. залишковий
член формули Тейлора (15.5) прямує до нуля при n → ∞ і всіх x ∈ (x 0 − R; x 0 + R).
Безпосередня перевірка цих умов нерідко виявляється непростою задачею. Доведемо тео-
рему, яка дає досить прості достатні умови розвинення функції в ряд Тейлора.

Теорема 15.3.

Якщо функція f(x) в інтервалі (x 0 − R; x 0 + R) має похідні всіх порядків та існує число
M > 0 таке, що

|f (n) (x)| ≤ M, x ∈ (x 0 − R; x 0 + R), n = 0, 1, 2, . . . , (15.7)

де f (0) (x) = f(x), то функцію f(x) можна розвинути в ряд Тейлора. ⋆

ДОВЕДЕННЯ. Відповідно до теореми 15.2 досить перевірити умову (15.3). В силу нерівно-
стей (15.7) залишковий член формули Тейлора (15.3) задовольняє нерівність

M
|R n (x)| ≤ |x − x 0 | n+1 , x ∈ (x 0 − R; x 0 + R), n = 0, 1, 2, . . . . (15.8)
(n + 1)!

Побудуємо степеневий ряд
∞ n+1
∑
M|x − x 0 |
. (15.9)
(n + 1)!
n=0 2
Оскільки
n+2
u n+1 M|x − x 0 | (n + 1)! 1
lim = lim = |x − x 0 | lim = 0 < 1,
n→∞ u n n→∞ (n + 2)!M|x − x 0 | m+1 n→∞ n + 2
то за ознакою д’Аламбера ряд (15.9) збіжний на всій числовій осі. Для збіжного ряду

n+1
M|x − x 0 |
lim u n = lim = 0,
n→∞ n→∞ (n + 1)!
тоді з нерівностей (15.8) знаходимо

lim R n (x) = 0, x ∈ (x 0 − R; x 0 + R).
n→∞

101