Page 98 - 4443

Степеневі ряди

∞
∑
який є збіжним за ознакою Лейбніца. При x = 1 дістаємо ряд 1 = 1 + 1 + 1 = 1 + · · · ,
2n+1 3 5 7
n=0
який є розбіжним за ознакою порівняння з гармонічним рядом. Таким чином, областю збіжності даного
ряду є проміжок [−1; 1).
г) Скористаємось ознакою д’Аламбера. Для даного ряду маємо

n n+1
|x + 3| |x + 3|
|u n | = , |u n+1 | = ;
n 2 (n + 1)! 2

n+1 2 2
u n+1 |x + 3| n n
lim = lim = |x + 3| lim = |x + 3|.
2 n n→∞ (n + 1) 2
n→∞ u n n→∞ (n + 1) |x + 3|
За ознакою д’Аламбера ряд буде абсолютно збіжним, якщо |x + 3| < 1, звідки −1 < x + 3 < 1, або
−4 < x < −2. Таким чином, (−4; −2) — інтервал збіжності даного ряду і R = 1 — його радіус
збіжності.
Дослідимо збіжність цього ряду на кінцях інтервалу збіжності.
∞
∞ n ∑ n
При x = −4 маємо ряд (−4+3) = (−1)
∑
2 , який є збіжним за ознакою Лейбніца.
n 2 n
n=1 n=1
∞ n ∑
∞
При x = −2 дістаємо узагальнений гармонічний ряд (−2+3) = 1 2 , який також збіжний
∑
n 2 n
n=1 n=1
(α = 2 > 1). Отже, областю збіжності даного ряду є відрізок [−4; −2].
Властивості степеневих рядів

1. Степеневий ряд
2 n
a 0 + a 1 x + a 2 x + · · · + a n x + · · ·
абсолютно і рівномірно збіжний на будь-якому відрізку [−ρ, ρ], який цілком
міститься в інтервалі збіжності (−R; R).

ДОВЕДЕННЯ. За умовою ρ < R. Візьмемо точку x 0 ∈ (ρ; R). За теоремою Абеля
∞
∑
n
n
ряд |a n x | збіжний. Для довільної точки x ∈ [−ρ, ρ] виконується нерівність |a n x | <
0
n=0
n
|a n x |, тому за ознакою Веєрштраса ряд (14.1) абсолютно і рівномірно збіжний. 2
0
З цієї властивості і властивостей 1-3 функціональних рядів випливають такі
твердження.
2. Сума степеневого ряду (14.1) неперервна всередині його інтервалу збі-
жності.
3. Якщо межі інтегрування α та β лежать всередині інтервалу збіжності (−R; R)
ряду (13.1), то на відрізку [α; β] цей ряд можна почленно інтегрувати.
Зокрема, якщо ряд (14.1) інтегрувати по відрізку [0; x], де |x| < R, то в ре-
зультаті дістанемо степеневий ряд, який має той самий інтервал збіжності,
∞
∑
n
що і ряд (14.1); при цьому, якщо S(x) — сума ряду (14.1): S(x) = a n x , то
n=0
x x
∞ ∫
∫ ∑ n
S(x)dx = a n x dx.
0 n=0 0
4. Якщо ряд (14.1) має інтервал збіжності (−R; R), то ряд, утворений дифе-
ренціюванням ряду (14.1), має той самий інтервал збіжності (−R; R); при
∞
∑
′
цьому, якщо S(x) — сума ряду (14.1), то S (x) = na n x n−1 , x ∈ (−R, R).
n=0
98