Page 102 - 4443

Ряд Тейлора і Маклорена

Розвинення елементарних функцій в ряд Маклорена

Рядом Маклорена функції f(x) називають степеневий ряд по степенях x, який можна дістати
з ряду (15.2) при x 0 = 0 :

′′
f (0) f (0) f (n) (0)
′
n
2
f(0) + x + x + · · · + x + · · · (15.10)
1! 2! n!
З попереднього параграфу випливає таке правило розвинення функції в ряд: щоб функцію f(x)
розвинути в ряд Маклорена, потрібно:
а) знайти похідні f (x), f (x), . . . , f (n) (x), . . . ;
′
′′
б) обчислити значення похідних в точці x = 0;
в) записати ряд Маклорена (15.10) для даної функції і знайти інтервал його збіжності;
г) визначити інтервал (−R; R), в якому залишковий член формули Маклорена R n (x) → 0
при n → ∞.
Якщо такий інтервал існує (він може відрізнятись від інтервалу збіжності ряду (15.10)), то в
цьому інтервалі функція f(x) і сума ряду Маклорена збігаються:
′
′′
f (0) f (0) f (n) (0)
n
2
f(x) = f(0) + x + x + · · · + x + · · · .
1! 2! n!
Розглянемо ряди Маклорена деяких елементарних функцій (вони часто використовуються і то-
му їх варто запам’ятати):
x x 2 x n
x
e = 1 + + + · · · + + · · · , x ∈ (−∞, +∞); (15.11)
1! 2! n!
n 2n+1
x 3 x 5 x 7 (−1) x
sin x = x − + − + · · · + + · · · , x ∈ (−∞, +∞); (15.12)
3! 5! 7! (2n + 1)!
n 2n
x 2 x 4 x 6 (−1) x
cos x = 1 − + − + · · · + + · · · , x ∈ (−∞, +∞); (15.13)
2! 4! 6! (2n)!
m m(m − 1) m(m − 1)(m − 2)
3
m
2
(1 + x) = 1 = x + x + x + . . . +
1! 2! 3!
m(m − 1) . . . (m − n + 1)
n
+ x + . . . , m ∈ R, x ∈ (−1, 1); (15.14)
n!
1 2 n
= 1 + x + x + · · · + x + · · · , x ∈ (−1, 1); (15.15)
1 − x
x
x 2 x 3 x 4 (−1) n−1 n
ln(1 + x) = x − + − + · · · + + · · · , x ∈ (−1, 1]; (15.16)
2 3 4 n
x 3 x 5 x 7 x 2n+1
arctg x = x − + − + · · · + (−1) n + · · · , x ∈ [−1, 1]. (15.17)
3 5 7 2n + 1
Доведемо формули (15.11)-(15.17).
x
x
1. Нехай f(x) = e . Маємо: (а) f (n) (x) = e ; (б) f (n) (0) = 1, n = 0, 1, 2, . . . (в) 1 + x + x 2 +
2!
∞ n
n
∑
· · · + x + · · · = x ;
n! n!
n=0

a n (n + 1)!
R = lim = lim = lim (n + 1) = ∞,
n!
n→∞ a n+1 n→∞ n→∞
отже, знайдений ряд збігається в інтервалі (−∞; +∞); (г) |f (n) (x)| ≤ e |x| < R, x ∈
x
(−R, R), тому за теоремою 15.3 з попереднього параграфа функцію e можна розвину-
ти в степеневий ряд на довільному інтервалі (−R; R) ⊂ (−∞; +∞), а отже, і на всьому
інтервалі (−∞; +∞). Формулу (15.11) доведено.
102