Page 93 - 4443

Ознака Веєрштраса

y

S n (x)
S(x) + ε
}
2ε

S(x)

. . . . . . . . . . . S(x) − ε x
0 a b

Рисунок 13.2 – Нерівномірно збіжний ряд

певної частинної суми S n (x) з однією й тією самою точністю неможливе. Таке обчислення мо-
жна виконати (бо ряд збіжний і r n (x) → 0), але для різних значень x треба буде брати різні
частинні суми, тобто різне число членів n в сумах S n (x).
Рівномірно збіжні функціональні ряди мають ряд важливих властивостей. Сформулюємо
деякі з них без доведення.
1. Сума членів рівномірно збіжного на деякому проміжку ряду неперервних
функцій є функція, неперервна на цьому проміжку.
2. Якщо на відрізку [a; b] функціональний ряд (13.1) рівномірно збіжний і члени
ряду неперервні на [a; b), то його можна почленно інтегрувати в межах
(α, β), де (α, β) ⊂ [a, β] :

β β ( ) β
∫ ∫ ∞ ∞ ∫
∑ ∑
S(x)dx = u n (x) dx = u n (x)dx.
n=1 n=1
α α α
3. Якщо функціональний ряд (13.1) збіжний на відрізку [a, b], а його члени мають
∞
∑
неперервні похідні u (x), x ∈ [a; b], n = 1, 2, . . . , причому ряд u (x) рівно-
′
′
n n
n=1
мірно збіжний на [a; b], то заданий ряд можна почленно диференціювати,
тобто
( )
∞ ∞
d ∑ ∑
′
′
S (x) = u n (x)dx = u (x), x ∈ [a, b].
n
dx
n=1 n=1
Таким чином, всі збіжні функціональні ряди поділяються за характером збіжності на рівно-
мірно збіжні і нерівномірно збіжні. Рівномірно збіжні ряди мають ряд властивостей, які дають
змогу ефективно використовувати їх при наближених обчисленнях. У цьому полягає практична
перевага рівномірно збіжних рядів перед нерівномірно збіжними.
Ознака Веєрштраса

Для дослідження функціонального ряду на рівномірну збіжність користуються такою доста-
тньою умовою рівномірної збіжності.

Теорема 13.1.

(ознака Веєрштраса). Функціональний ряд (13.1) абсолютно і рівномірно збіжний на

93