Page 92 - 4443

Функціональні ряди

У кожній точці x з області збіжності ряду (13.1) існує скінченна границя lim S n (x) = S(x), яку
n→∞
називають сумою ряду (13.1) і пишуть

S(x) = u 1 (x) + u 2 (x) + · · · + u n (x) + · · · .

Функція S(x) визначена в області збіжності функціонального ряду. Якщо функціональний ряд
(13.1) збіжний до функції S(x), то різниця r n (x) = S(x) − S n (x) називається n-им залишком
ряду:

r n (x) = u n+1 (x) + u n+2 (x) + · · · .

Зрозуміло, що для всіх значень x з області збіжності ряду lim r n (x) = 0. Відомо, що сума
n→∞
скінченного числа неперервних функцій є функцією неперервною. Крім того, суму скінченного
числа функцій можна почленно диференціювати та інтегрувати. Виявляється, що ці властивості
не завжди виконуються для сум нескінченного числа функцій, тобто для функціональних рядів.
Проте ці властивості зберігаються для так званих рівномірно збіжних рядів.

Рівномірно збіжні ряди

Означення 13.2. Функціональний ряд (13.1) називається рівномірно збіжним на
множині D, якщо для довільного числа ε > 0 існує таке число N = N(ε), яке зале-
жить лише від ε і не залежить від x, що для всіх n > N і для всіх x ∈ D виконується

нерівність |r n (x)| < ε.

Розглянемо поняття рівномірної і нерівномірної збіжності функціонального ряду з погляду гео-
метрії.
Нехай S n (x) — це n-а частинна сума, а S(x) — сума ряду (13.1). Візьмемо довільне число
ε > 0 і побудуємо криві S(x), S(x) + ε і S(x) − ε (рис. 9.2). Останні дві криві утворюють смугу
шириною 2ε. Якщо ряд (13.1) рівномірно збіжний на проміжку (a; b) до функції S(x), то можна
знайти номер N = N(ε), починаючи з якого для всіх n > N графіки частинних сум S n (x)
розмістяться на всьому проміжку (a; b) всередині смуги 2ε (рис. 13.1).

y

S(x) + ε
}
S(x) 2ε

S n (x)

. . . . . . . . . . . S(x) − ε x
0 a b

Рисунок 13.1 – Рівномірно збіжний ряд

Практично це означає, що суму S(x) на проміжку (a; b) можна наближено, з наперед заданою
точністю, замінити однією і тією самою частинною сумою S n (x) : S(x) ≈ S n (x), x ∈ (a; b).
Якщо ряд нерівномірно збіжний на проміжку (a; b), то такого номера не існує: графіки ча-
стинних сум S(x) виходять за межі смуги 2ε (рис. 13.2).
При цьому збільшення числа доданків в сумах S n (x) не забезпечує введення їхніх графіків
в смугу 2ε. Це означає, що для різних значень x ∈ (a; b) обчислення суми S(x) за допомогою

92